Câu 1:
Tìm tham số m đề phương trình \(\ln x = m{x^4}\) có đúng một nghiệm.
A. \(m = \frac{1}{{4e}}\)
B. \(m = \frac{1}{{4{e^4}}}\)
C. \(m = \frac{{{e^4}}}{4}\)
D. \(m = \frac{4}{{\sqrt[4]{e}}}\)
Câu 2:
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {\sqrt {x - 2} + 4} \right) \ge {\log _3}\left( {\frac{1}{{\sqrt {2 - x} + 8}}} \right).\)
A. \(x=2\)
B. \(x\geq 2\)
C. \(x\leq 2\)
D. \(1\leq x\leq 2\)
Câu 3:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({\log _2}x - {\log _2}\left( {x - 2} \right) = m\) có nghiệm.
A. \(1 \le m < + \infty \)
B. \(1 < m < + \infty \)
C. \(0 \le m < + \infty \)
D. \(0 < m < + \infty \)
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({\log _5}\left( {{{25}^x} - {{\log }_5}m} \right) = x\) có nghiệm duy nhất.
A. \(m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}}.\)
B. \(m =1\).
C. \(\left[ \begin{array}{l} m \ge 1\\ m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}} \end{array} \right..\)
D. \(m \ge 1.\)
Câu 5:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(x - \frac{1}{{{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)}} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
A. \(- 1 < m \ne 0\)
B. \(m>-1\)
C. Không tồn tại m
D. \(- 1 < m < 0\)
Câu 6:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{{m\log _3^2x - 4{{\log }_3}x + m + 3}}\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
A. \(m \in \left( { - 4;1} \right)\)
B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\)
Câu 7:
Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y - 4) \ge 1.\) Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0.\)
A. \({\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)^2}\)
B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {10} - \sqrt 2 }\\ {\sqrt {10} + \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)}^2}}\\ {{{\left( {\sqrt {10} + \sqrt 2 } \right)}^2}} \end{array}} \right.\)
D. \(\sqrt {10} - \sqrt 2\)
Câu 8:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^{ - z}} + 1} \right).lo{g_2}\left( {{{2.5}^{ - z}} + 2} \right) = m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
A. \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right).\)
B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right).\)
C. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
D. \(\left( {0;2} \right).\)
Câu 9:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 = 0\) có nghiệm thực trong đoạn \(\left[ {\frac{5}{4};4} \right]\).
A. \(m > \frac{7}{3}\)
B. \( - 3 < m < \frac{7}{3}\)
C. \( - 3 \le m \le \frac{7}{3}\)
D. \(m < - 3\)
Câu 10:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \(2{\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left| {x + 3} \right| = m\) có ba nghiệm thực phân biệt.
A. \(m \in \left( {0;2} \right)\)
B. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\)
C. \(m \in \left( { - \infty ;2} \right)\)
D. \(m \in \left\{ 2 \right\}\)
\(2{\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left| {x + 3} \right| = m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left| {x + 3} \right| = {2^m}}\\{x \ne 0,x \ne - 3}\end{array}} \right.\)
Lập phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số \(y = {x^2}\left| {x + 3} \right|\) và đường thẳng \(y = {2^m}\) song song trục hoành. Hai đồ thị có bao nhiêu giao điểm thì PT có bấy nhiêu nghiệm.
Xét hàm số \(y = {x^2}\left| {x + 3} \right|\)
Ta vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) từ đó suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2}\left| {x + 3} \right|\) bằng cách lấy đối xứng phần dưới trục hoành hoành qua trục hoành.
Hai đồ thị có ba giao điểm khi và chỉ khi \({2^m} = 4 \Leftrightarrow m = 2\)
Suy ra \(m \in \left\{ 2 \right\}.\)
Câu 11:
Phương trình \(\frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 3} }} = {\log _3}\frac{{\sqrt {x - 3} }}{{x - 2}}\) có mấy nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
Tìm tham số m đề phương trình \(\ln x = m{x^4}\) có đúng một nghiệm.
A. \(m = \frac{1}{{4e}}\)
B. \(m = \frac{1}{{4{e^4}}}\)
C. \(m = \frac{{{e^4}}}{4}\)
D. \(m = \frac{4}{{\sqrt[4]{e}}}\)
Điều kiện \(x > 0\)
+ Với \(m = 0\), phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất \(x = 1\)
+ Với \(m > 0\), xét hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} - \ln x = 0\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có với \(x > 0\) thì:
\(f'\left( x \right) = 4m{x^3} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}};f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}};f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là \(x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\).
Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow m.\frac{1}{{4m}} - \ln \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln \left( {4m} \right) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \ln \left( {4m} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{4e}}\)
+ Với \(m = 0\), phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất \(x = 1\)
+ Với \(m > 0\), xét hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} - \ln x = 0\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có với \(x > 0\) thì:
\(f'\left( x \right) = 4m{x^3} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}};f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}};f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là \(x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\).
Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow m.\frac{1}{{4m}} - \ln \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln \left( {4m} \right) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \ln \left( {4m} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{4e}}\)
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {\sqrt {x - 2} + 4} \right) \ge {\log _3}\left( {\frac{1}{{\sqrt {2 - x} + 8}}} \right).\)
A. \(x=2\)
B. \(x\geq 2\)
C. \(x\leq 2\)
D. \(1\leq x\leq 2\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le 2 \end{array} \right. \Rightarrow x = 2.\)
Ta thấy x=2 thỏa mãn bất phương trình.
Vậy BPT có nghiệm duy nhất x=2.
Ta thấy x=2 thỏa mãn bất phương trình.
Vậy BPT có nghiệm duy nhất x=2.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({\log _2}x - {\log _2}\left( {x - 2} \right) = m\) có nghiệm.
A. \(1 \le m < + \infty \)
B. \(1 < m < + \infty \)
C. \(0 \le m < + \infty \)
D. \(0 < m < + \infty \)
Phương trình đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {\frac{x}{{x - 1}}} \right) = m\\x > 2\end{array} \right.\)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _2}f\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 2}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Có \(f'\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x > 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\) nên ta có các tập giá trị của các hàm số \(f\left( x \right) \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow {\log _2}f\left( x \right) = \left( {0; + \infty } \right)\)
Vậy để phương trình có nghiệm thì: \(0 < m < + \infty .\)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _2}f\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 2}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Có \(f'\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x > 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\) nên ta có các tập giá trị của các hàm số \(f\left( x \right) \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow {\log _2}f\left( x \right) = \left( {0; + \infty } \right)\)
Vậy để phương trình có nghiệm thì: \(0 < m < + \infty .\)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({\log _5}\left( {{{25}^x} - {{\log }_5}m} \right) = x\) có nghiệm duy nhất.
A. \(m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}}.\)
B. \(m =1\).
C. \(\left[ \begin{array}{l} m \ge 1\\ m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}} \end{array} \right..\)
D. \(m \ge 1.\)
\({\log _5}\left( {{{25}^x} - {{\log }_5}m} \right) = x \Leftrightarrow {25^x} - {\log _5}m = {5^x}\)
Đặt \(t = {5^x},\) bất phương trình trở thành: \({t^2} - t = {\log _5}m\)
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} - t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có bảng biến thiên:
PT đã cho có nghiệm duy nhất khi: \(\left[ \begin{array}{l} {\log _5}m = - \frac{1}{4}\\ {\log _5}m \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}}\\ m \ge 1 \end{array} \right.\)
Đặt \(t = {5^x},\) bất phương trình trở thành: \({t^2} - t = {\log _5}m\)
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} - t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có bảng biến thiên:
PT đã cho có nghiệm duy nhất khi: \(\left[ \begin{array}{l} {\log _5}m = - \frac{1}{4}\\ {\log _5}m \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}}\\ m \ge 1 \end{array} \right.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(x - \frac{1}{{{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)}} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
A. \(- 1 < m \ne 0\)
B. \(m>-1\)
C. Không tồn tại m
D. \(- 1 < m < 0\)
ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > - 1}\\ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0} \end{array}} \right.\)
Khi đó ta có: \(y' = 1 - \frac{{2.\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)} \right]'}}{{\log _3^2\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{2}{{\ln 3\left( {x + 1} \right)\log _3^2\left( {x + 1} \right)}} > 0,\left( {\forall x > - 1} \right).\)
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \((-1;0)\) và \((0;+\infty )\).
Dựa vào bảng BBT suy ra PT đã cho có 2 nghiệm khi m>-1.
Khi đó ta có: \(y' = 1 - \frac{{2.\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)} \right]'}}{{\log _3^2\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{2}{{\ln 3\left( {x + 1} \right)\log _3^2\left( {x + 1} \right)}} > 0,\left( {\forall x > - 1} \right).\)
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \((-1;0)\) và \((0;+\infty )\).
Dựa vào bảng BBT suy ra PT đã cho có 2 nghiệm khi m>-1.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{{m\log _3^2x - 4{{\log }_3}x + m + 3}}\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
A. \(m \in \left( { - 4;1} \right)\)
B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số đã cho xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) khi:
\(g\left( x \right) = m\log _3^2x - 4{\log _3}x + m + 3 \ne 0\left( {\forall x > 0} \right)\)
Đặt \(t = {\log _3}x\left( {t \in } \right)\) khi đó:
\(g\left( t \right) = m{t^2} - 4t + m + 3 \ne 0\left( {\forall t \in \mathbb{R} } \right)\)
Với \(m = 0 \Rightarrow g\left( t \right) = - 4x + 3\) (không thỏa mãn)
Với \(m\neq 0\) suy ra
\(g\left( t \right) = m{t^2} - 4t + m + 3 \ne 0\left( {\forall t \in \mathbb{R}} \right)\)
\(\Leftrightarrow \Delta ' = 4 - m\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1}\\ {m < - 4} \end{array}} \right.\)
\(g\left( x \right) = m\log _3^2x - 4{\log _3}x + m + 3 \ne 0\left( {\forall x > 0} \right)\)
Đặt \(t = {\log _3}x\left( {t \in } \right)\) khi đó:
\(g\left( t \right) = m{t^2} - 4t + m + 3 \ne 0\left( {\forall t \in \mathbb{R} } \right)\)
Với \(m = 0 \Rightarrow g\left( t \right) = - 4x + 3\) (không thỏa mãn)
Với \(m\neq 0\) suy ra
\(g\left( t \right) = m{t^2} - 4t + m + 3 \ne 0\left( {\forall t \in \mathbb{R}} \right)\)
\(\Leftrightarrow \Delta ' = 4 - m\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1}\\ {m < - 4} \end{array}} \right.\)
Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y - 4) \ge 1.\) Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0.\)
A. \({\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)^2}\)
B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {10} - \sqrt 2 }\\ {\sqrt {10} + \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)}^2}}\\ {{{\left( {\sqrt {10} + \sqrt 2 } \right)}^2}} \end{array}} \right.\)
D. \(\sqrt {10} - \sqrt 2\)
Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y - 4) \ge 1\)
\(\Leftrightarrow 4x + 4y - 4 \ge {x^2} + {y^2} + 2 \Leftrightarrow 2 \ge {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2}\;(1)\)
Lại có \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} = m\;(m \ge 0)\)
Với \(m = 0 \Rightarrow x = - 1;y = 1\) không thõa mãn (1).
Khi đó gọi M(x;y) thỏa mãn giả thiết bài toán thì điểm m nằm trong hoặc trên đường tròn \({(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} = 2\) và nằm trên đường tròn \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} = m\;(m > 0)\)
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hai đường tròn tiếp xúc nhau:
Gọi I(2;2), \(R = \sqrt 2\) và I’(-1;1), \(R' = \sqrt m\) lần lượt là lượt là tâm và bán kính của hai đường tròn.
Ta có điều kiện tiếp xúc: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R + R' = II'}\\ {\left| {R - R'} \right| = II'} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 + \sqrt m = \sqrt {10} }\\ {\left| {\sqrt 2 - \sqrt m } \right| = \sqrt {10} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {10} \pm \sqrt 2 } \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow 4x + 4y - 4 \ge {x^2} + {y^2} + 2 \Leftrightarrow 2 \ge {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2}\;(1)\)
Lại có \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} = m\;(m \ge 0)\)
Với \(m = 0 \Rightarrow x = - 1;y = 1\) không thõa mãn (1).
Khi đó gọi M(x;y) thỏa mãn giả thiết bài toán thì điểm m nằm trong hoặc trên đường tròn \({(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} = 2\) và nằm trên đường tròn \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} = m\;(m > 0)\)
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hai đường tròn tiếp xúc nhau:
Gọi I(2;2), \(R = \sqrt 2\) và I’(-1;1), \(R' = \sqrt m\) lần lượt là lượt là tâm và bán kính của hai đường tròn.
Ta có điều kiện tiếp xúc: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R + R' = II'}\\ {\left| {R - R'} \right| = II'} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 + \sqrt m = \sqrt {10} }\\ {\left| {\sqrt 2 - \sqrt m } \right| = \sqrt {10} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {10} \pm \sqrt 2 } \right)^2}\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^{ - z}} + 1} \right).lo{g_2}\left( {{{2.5}^{ - z}} + 2} \right) = m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
A. \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right).\)
B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right).\)
C. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
D. \(\left( {0;2} \right).\)
\({\log _2}\left( {{5^{ - z}} + 1} \right).lo{g_2}\left( {{{2.5}^{ - z}} + 2} \right) = m \Leftrightarrow {\log _2}({5^{ - z}} + 1)\left[ {1 + {{\log }_2}({5^{ - z}} + 1)} \right] = m.\)
Đặt \(t = {\log _2}({5^{ - z}} + 1) \Rightarrow m = t(t + 1) = f\left( t \right)\)
Với \(z \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}t > {\log _2}1 = 0\\t < {\log _2}2 = 1\end{array} \right. \Rightarrow t \in (0;1).\)
Xét hàm số \(f(t) = t(t + 1)\) trên (0;1)
Ta có: \(f'(t) = 2t;\,\,f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi: \(f\left( 0 \right) < m < f\left( 1 \right)\) hay \(0 < m < 2.\)
Đặt \(t = {\log _2}({5^{ - z}} + 1) \Rightarrow m = t(t + 1) = f\left( t \right)\)
Với \(z \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}t > {\log _2}1 = 0\\t < {\log _2}2 = 1\end{array} \right. \Rightarrow t \in (0;1).\)
Xét hàm số \(f(t) = t(t + 1)\) trên (0;1)
Ta có: \(f'(t) = 2t;\,\,f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi: \(f\left( 0 \right) < m < f\left( 1 \right)\) hay \(0 < m < 2.\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 = 0\) có nghiệm thực trong đoạn \(\left[ {\frac{5}{4};4} \right]\).
A. \(m > \frac{7}{3}\)
B. \( - 3 < m < \frac{7}{3}\)
C. \( - 3 \le m \le \frac{7}{3}\)
D. \(m < - 3\)
\(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _2^2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {m - 5} \right){\log _2}\left( {x - 2} \right) + 4m - 4 = 0\)
Đặt \(t = {\log _2}\left( {x - 2} \right);x \in \left[ {\frac{5}{4};4} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 2;1} \right]\).
Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình \(4\left( {m - 1} \right){t^2} + 4\left( {m - 5} \right)t + 4m - 4 = 0\) có nghiệm trong đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\)
Ta có \(4\left( {m - 1} \right){t^2} + 4\left( {m - 5} \right)t + 4m - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow m\left( {4{t^2} + 4t + 4} \right) = 4{t^2} + 20t + 4\)
\( \Leftrightarrow m = 1 + \frac{{4t}}{{{t^2} + t + 1}} = f\left( t \right)\).
Xét \(f\left( t \right) = 1 + \frac{{4t}}{{{t^2} + t + 1}};f'\left( t \right) = - \frac{{4({t^2} - 1)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1 \in \left[ { - 2;1} \right]\)
\(f\left( { - 2} \right) = - \frac{5}{3};f\left( { - 1} \right) = - 3;f\left( 1 \right) = \frac{7}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) = \frac{7}{3},\mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) = - 3\)
Để phương trình \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm trong đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) thì
\(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) \Leftrightarrow - 3 \le m \le \frac{7}{3}\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _2^2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {m - 5} \right){\log _2}\left( {x - 2} \right) + 4m - 4 = 0\)
Đặt \(t = {\log _2}\left( {x - 2} \right);x \in \left[ {\frac{5}{4};4} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 2;1} \right]\).
Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình \(4\left( {m - 1} \right){t^2} + 4\left( {m - 5} \right)t + 4m - 4 = 0\) có nghiệm trong đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\)
Ta có \(4\left( {m - 1} \right){t^2} + 4\left( {m - 5} \right)t + 4m - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow m\left( {4{t^2} + 4t + 4} \right) = 4{t^2} + 20t + 4\)
\( \Leftrightarrow m = 1 + \frac{{4t}}{{{t^2} + t + 1}} = f\left( t \right)\).
Xét \(f\left( t \right) = 1 + \frac{{4t}}{{{t^2} + t + 1}};f'\left( t \right) = - \frac{{4({t^2} - 1)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1 \in \left[ { - 2;1} \right]\)
\(f\left( { - 2} \right) = - \frac{5}{3};f\left( { - 1} \right) = - 3;f\left( 1 \right) = \frac{7}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) = \frac{7}{3},\mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) = - 3\)
Để phương trình \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm trong đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) thì
\(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) \Leftrightarrow - 3 \le m \le \frac{7}{3}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \(2{\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left| {x + 3} \right| = m\) có ba nghiệm thực phân biệt.
A. \(m \in \left( {0;2} \right)\)
B. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\)
C. \(m \in \left( { - \infty ;2} \right)\)
D. \(m \in \left\{ 2 \right\}\)
\(2{\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left| {x + 3} \right| = m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left| {x + 3} \right| = {2^m}}\\{x \ne 0,x \ne - 3}\end{array}} \right.\)
Lập phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số \(y = {x^2}\left| {x + 3} \right|\) và đường thẳng \(y = {2^m}\) song song trục hoành. Hai đồ thị có bao nhiêu giao điểm thì PT có bấy nhiêu nghiệm.
Xét hàm số \(y = {x^2}\left| {x + 3} \right|\)
Ta vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) từ đó suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2}\left| {x + 3} \right|\) bằng cách lấy đối xứng phần dưới trục hoành hoành qua trục hoành.
Hai đồ thị có ba giao điểm khi và chỉ khi \({2^m} = 4 \Leftrightarrow m = 2\)
Suy ra \(m \in \left\{ 2 \right\}.\)
Phương trình \(\frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 3} }} = {\log _3}\frac{{\sqrt {x - 3} }}{{x - 2}}\) có mấy nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
Ta có: \({\log _2}\frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 3} }} = {\log _3}\frac{{\sqrt {x - 3} }}{{x - 2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\{\log _2}\left( {x - 2} \right) + {\log _3}\left( {x - 2} \right) = {\log _2}\sqrt {x - 3} + {\log _3}\sqrt {x - 3} \,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {\log _3}t\) là hàm đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Khi đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \sqrt {x - 3} \\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5{\rm{x}} + 7 = 0\\x > 3\end{array} \right.\) (vô nghiệm).
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
Xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {\log _3}t\) là hàm đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Khi đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \sqrt {x - 3} \\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5{\rm{x}} + 7 = 0\\x > 3\end{array} \right.\) (vô nghiệm).
Vậy PT đã cho vô nghiệm.