Toán 12 10 bài trắc nghiệm về Bài Toán Thực Tế ứng Dụng đạo Hàm (phần 3)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1
Dynamo là một nhà ảo thuật gia đại tài người Anh nhưng người ta thường nói Dynamo làm ma thuật chứ không phải làm ảo thuật. Bất kì màn trình diến nào của anh chảng trẻ tuổi tài cao này đều khiến người xem há hốc miệng kinh ngạc vì nó vượt qua giới hạn của khoa học. Một lần đến New York anh ngấu hứng trình diễn khả năng bay lơ lửng trong không trung của mình bằng cách di truyển từ tòa nhà này đến toà nhà khác và trong quá trình anh di chuyển đấy có một lần anh đáp đất tại một điểm trong khoảng cách của hai tòa nhà. (Biết mọi di chuyển của anh đều là đường thẳng). Biết tòa nhà ban đầu Dynamo đứng có chiều cao là a(m), tòa nhà sau đó Dynamo đến có chiều cao là b(m) (a<b) và khoảng cách giữa hai tòa nhà là c (m). Vị trí đáp đất cách tòa nhà thứ nhất một đoạn là x(m) hỏi x bằng bao nhiêu để quãng đường di chuyển của Dynamo là bé nhất.
A. \(x = \frac{{3ac}}{{a + b}}.\)
B. \(x = \frac{{ac}}{{3(a + b)}}\)
C. \(x = \frac{{ac}}{{a + b}}\)
D. \(x = \frac{{ac}}{{2\left( {a + b} \right)}}\)
Gọi các điểm như hình vẽ ta có quãng đường mà Dynamo đi là SA+SB.
Trong đó \(SA = \sqrt {{a^2} + {x^2}} ,{\rm{ }}SB = \sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}}\)
Do đó quãng đường Dynamo phải di chuyển là:
\(S = SA + SB = \sqrt {{a^2} + {x^2}} + \sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}}\)
quãng đường di chuyển.png

Phương pháp hàm số \(S = f\left( x \right) = \sqrt {{a^2} + {x^2}} + \sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} (0<x<c)\)
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} - \frac{{\left( {c - x} \right)}}{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} - \frac{{\left( {c - x} \right)}}{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow x\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} = \left( {c - x} \right)\sqrt {{x^2} + {a^2}}\)
\(\Leftrightarrow {x^2}\left[ {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} \right] = {\left( {c - x} \right)^2}\left( {{x^2} + {a^2}} \right) \Leftrightarrow {x^2}{b^2} = {a^2}{\left( {x - c} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{{ac}}{{a + b}}.\)
Lập bảng biến thiên của f(x) ta được khi \(x = \frac{{ac}}{{a + b}}\) thì quãng đường bé nhất.
Câu 3
Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có thể tích là \(64 \pi\) mét khối. Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
A. \(r = 3\,\,(m).\)
B. \(r = \sqrt[3]{16}(m).\)
C. \(r = \sqrt[3]{32}(m).\)
D. \(r = 4(m).\)
Gọi h là chiều cao của hình trụ, thể tích của khối trụ là
\(V = \pi {r^2}h = 64\pi \Rightarrow {r^2}h = 64 \Leftrightarrow h = \frac{{64}}{{{r^2}}}\)
Diện tích toàn phần của khối trụ là:
\({S_{tp}} = 2\pi r(r + h) = 2\pi r\left( {r + \frac{{64}}{{{r^2}}}} \right) = 2\pi \left( {{r^2} + \frac{{64}}{r}} \right).\)
Xét hàm số \(f(r) = {r^2} + \frac{{64}}{r},r > 0.\)
Ta có: \(f'(r) = 2r - \frac{{64}}{{{r^2}}},\,f'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{32}}.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(r) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(r = \sqrt[3]{{32}}.\)
Vậy với \(r = \sqrt[3]{{32}}\) thì hình trụ được sản xuất ra ít tốn nhiên liệu nhất.
Câu 4
Một miếng bìa hình tam giác đều ABC, cạnh bằng 16. Học sinh Trang cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa trên để làm biển trông xe cho lớp trong buổi ngoại khóa (với M,N thuộc cạnh BC; P, Q lần lượt thuộc cạnh AC và AB). Diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. \(16\sqrt 3 .\)
B. \(8\sqrt 3 .\)
C. \(32\sqrt 3 .\)
D. \(34\sqrt 3 .\)
hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa.png

Đặt \(MN = x,\left( {0 < x < 16} \right) \Rightarrow BM = \frac{{16 - x}}{2}\)
\(\Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{{QM}}{{BM}} \Rightarrow QM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {16 - x} \right)\)
Xét hàm số \(S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\left( {16 - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - {x^2} + 16x} \right)\) với 0<x<16.
\(S'(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}( - 2x + 16);\,\,S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 8.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=8, giá trị lớn nhất là \(32\sqrt3.\)
Câu 5
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công.jpg

A. 106,25 triệu đồng.
B. 120 triệu đồng.
C. 164,92 triệu đồng
D. 114,64 triệu đồng.
Đặt MB=x khi đó AM=4-x và \(MC = \sqrt {M{B^2} + C{B^2}} = \sqrt {{x^2} + 1}\)
Khi đó chi phí nối điện từ A đến C là \(f\left( x \right) = 20\left( {4 - x} \right) + 40\sqrt {{x^2} + 1}\)
Ta có: \(f'\left( x \right) = - 20 + \frac{{40x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy:
GTNN của f(x) đạt được khi \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 114,64\) (triệu đồng).
Câu 6
Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng dể sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2 chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2. Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được (giả sử chi phí cho các mỗi nối không đáng kể).
A. 12525 đồng
B. 18209 đồng
C. 57582 đồng
D. 58135 đồng
Gọi R là bán kính đường tròn đáy có \(V = \pi {R^2}h = {5.10^{ - 3}} \Rightarrow h = \frac{{{{5.10}^{ - 3}}}}{{\pi {R^2}}}\)
Số tiền làm mặt xung quanh là: \({10^5}.{S_{xq}} = {10^5}.2\pi Rh = \frac{{{{10}^3}}}{R}.\)
Số tiền làm hai mặt đáy là: \(2\pi {R^2}{.12.10^4}.\)
Số tiền làm một hộp là: \(T = \frac{{{{10}^3}}}{R} + {24.10^4}.\pi .{R^2}\)
Ta có: \(T' = - \frac{{{{10}^3}}}{{{R^2}}} + {48.10^4}\pi R = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}}\)
Dễ thấy T đạt giá trị nhỏ nhất khi \(R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}}\)
Vậy chi phí thấp nhất để sản xuất 1 thùng là: \({T_{\min }} = 3\sqrt[3]{{\frac{3}{{3200{\pi ^2}}}}}.\)
Khi đó số thùng tối đá sản suất được là:\(n = \frac{{1.000.000}}{{{T_{\min }}}} = 58135\) thùng.
Câu 7
Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4 dm3.
A. 1 dm
B. 1,5 dm
C. 2 dm
D. 0,5 dm
Gọi cạnh đáy là a, chiều cao là h.
Diện tích đáy là: a2.
Diện tích xung quanh là: 4ah
Ta có:\(V = {a^2}h = 4 \Rightarrow ah = \frac{4}{a}(*)\)
Lượng vàng cần phải dùng là: \({a^2} + 4ah = {a^2} + \frac{{16}}{a}\)
Xét hàm số \(f(a) = {a^2} + \frac{{16}}{a},a > 0\)
Ta có: \(f'(a) = 2a - \frac{{16}}{{{a^2}}}\)
\(f'(a) = 0 \Leftrightarrow 2a - \frac{{16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{a^3} - 16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 2\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(a) đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2, thay vào (*) suy ra h=1.
Câu 8
Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150m3. Đáy bể làm bằng bê tông giá 100000 đ/ m2. Phần thân làm bằng tôn giá 90000đ/m2 nắp bằng nhôm giá 120000đ/m2. Hỏi khi chi phí sản xuất bể đạt mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?
A. \(\frac{22}{9}\)
B. \(\frac{9}{22}\)
C. \(\frac{31}{2}\)
D. \(\frac{21}{32}\)
Gọi bán kính đáy là R, chiều cao là h.
Ta có \(V = \pi {R^2}h = 150 \Rightarrow h = \frac{{150}}{{\pi {R^2}}}(*)\)
Diện tích đáy là \(\pi R^2\) suy ra chi phí làm đáy là: \(10 \pi R^2\) (chục nghìn đồng)
Diện tích thân là: \(2\pi Rh = 2\pi R.\frac{{150}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{300}}{R}\) suy ra chi phí làm thân là: \(9.\frac{{300}}{R} = \frac{{2700}}{R}\) (chục nghìn đồng)
Diện tích nắp là: \(\pi R^2\) suy ra chi phí làm nắp là: \(12 \pi R^2\)
Chi phí sản xuất bể là: \(10\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R} + 12\pi {R^2} = 22\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R}\) (chục nghìn đồng).
Xét hàm số \(f(R) = 22\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R},R > 0\)
\(f'(R) = 44\pi R - \frac{{2700}}{{{R^2}}}\)
\(f'(R) = 0 \Leftrightarrow \frac{{44\pi {R^3} - 2700}}{{{R^2}}} = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}\)
Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(R = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}.\)
Từ (*) ta có: \(\frac{h}{R} = \frac{{150}}{{\pi {R^3}}} = \frac{{22}}{9}.\)
Câu 9
Một khối gỗ hình trụ có chiều cao 2m người ta xẻ bớt phần vỏ của khối gỗ đó theo bốn mặt phẳng song song với trục để tạo thành một khối gỗ hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất bằng 1m3. Tính đường kính của khối gỗ hình trụ đã cho.
A. \(100cm.\)
B. \(60cm.\)
C. \(120cm.\)
D. \(50cm.\)
Tính đường kính của khối gỗ hình trụ đã cho.png

Gọi R là bán kính đường tròn đáy của khối trụ hình gỗ.
Và khối gỗ hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn.
Gọi x, y là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật \({x^2} + {y^2} = 4{R^2}\) (1)
Thể tích của hình hộp chữ nhật là \(V = S.h = 2.S{}_{hcn} = 2xy \le {x^2} + {y^2} = 1.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow 4{R^2} = 1 \Leftrightarrow R = \frac{1}{2}m \Rightarrow R = 50cm.\)
Suy ra đường kính là 2R=100cm.
Câu 10:
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = 9{t^2} - {t^3},\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 27 m/s.
B. 15 m/s.
C. 100 m/s.
D. 54 m/s.
Ta có \(s = 9{t^2} - {t^2} \Rightarrow v = s' = 18t - 3{t^2} \Rightarrow v' = 18 - 6t \Leftrightarrow t = 3.\)
Khi:
\(\begin{array}{l}t = 3 \Rightarrow v = 27;\,\,t = 5 \Rightarrow v = 15\\ \Rightarrow {v_{\max }} = 27.\end{array}\)
Câu 13
Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (giây) kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (mét). Giả thiết quả bóng được đá từ độ cao 1 m và đạt được độ cao 6 m sau 1 giây đồng thời sau 6 giây quả bóng lại trở về độ cao 1 m. Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây, kể từ lúc bắt đầu được đá, độ cao lớn nhất của quả bóng đạt được bằng bao nhiêu?
A. 9m
B. 10m
C. 6m
D. 13m
Quỹ đạo của quả bóng là parabol \(\left( P \right)\) có phương trình: \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + b{\rm{x}} + c.\)
Theo dữ kiện đề bài ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\6 = a + b + c\\1 = 36{\rm{a}} + 6b + c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 6\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = - {x^2} + 6{\rm{x}} + 1.\)
\(y' = - 2{\rm{x}} + 6;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( 0 \right) = 1\\y\left( 3 \right) = 10\\y\left( 5 \right) = 6\end{array} \right. \Rightarrow \) độ cao lớn nhất đạt được trong 5s đầu là 10m
Câu 14
Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà. Ông muốn có một cái thang luôn được đặt đi qua vị trí C, biết rằng điểm C cao 2m so với nền nhà và điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 400.000 đồng/1 mét dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất 1 cái thang? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng).
Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo.png

A. 1.400.000 đồng
B. 800.000 đồng
C. 2.160.000 đồng
D. 1.665.000 đồng
ng muốn có một cái thang luôn.png

Đặt \(BC = x.\)
Ta có: \(\Delta BCE \sim \Delta CEF\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{CE}}{{DF}} \Rightarrow \frac{x}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt {C{D^2} - 4} }}\\ \Rightarrow {x^2}\left( {C{D^2} - 4} \right) = C{D^2} \Leftrightarrow C{D^2} = \frac{{4{x^2}}}{{{x^2} - 1}} \Leftrightarrow CD = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\end{array}\)
Vậy chi phí sản xuất thang là:
\(f(x) = \left( {x + \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right){.4.10^5},x > 1\)
\(f'(x) = {4.10^5}\left( {1 + \frac{{2\sqrt {{x^2} - 1} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}}}{{{x^2} - 1}}} \right) = {4.10^5}\left( {1 - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^3}}}} \right)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^3} = 4 \Rightarrow x = \sqrt {\sqrt[3]{4} + 1} \)
Lập bảng biến thiên ta thấy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt {\sqrt[3]{4} + 1} \)
Vậy chi phí sản xuất nhỏ nhất là: \(f\left( {\sqrt {\sqrt[3]{4} + 1} } \right) \simeq 1.665.000.\)
Câu 15
Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng 2m, chiều cao 6m. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gốc có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V.
Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ.png

A. \(V = \frac{{32}}{3}\left( {{m^3}} \right)\)
B. \(V = \frac{{32}}{3}\pi \left( {{m^3}} \right)\)
C. \(V = \frac{{32}}{9}\pi \left( {{m^3}} \right)\)
D. \(V = \frac{{16}}{3}\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Giả sử khối trụ có bán kính đáy.png

Giả sử khối trụ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là r, h’ (0<x<2; 0<h’<6).
Ta có: \(\frac{{h'}}{6} = \frac{{2 - x}}{2} \Leftrightarrow h' = 6 - 3x\)
Thê tích khồi trụ: \(V = \pi {x^2}h' = \pi {x^2}(6 - 3x) = 6\pi {x^2} - 3\pi {x^3},0 < x < 2\)
\(\begin{array}{l}V'(x) = 12\pi x - 9\pi {x^2}\\V'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{4}{3}\)
Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là: \(V = \frac{{32}}{9}\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Câu 17
Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa). Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm. Nhà sản xuất đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó?
Khi sản xuất hộp mì tôm.png

A. \(V = 36\pi \)
B. \(V = 54\pi \)
C. \(V = 48\pi \)
D. \(V = \frac{{81}}{2}\pi \)
thể tích vắt mì tôm được tính bằng.png

Ta có thể tích vắt mì tôm được tính bằng \(V = S.h = \pi {r^2}.h\)
Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định:
Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc r.
Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r.
Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vuông góc và song song, dùng định lí Thales ta sẽ có:
\(\frac{h}{9} = \frac{{6 - r}}{6} \Leftrightarrow h = \frac{{18 - 3r}}{2}\)
Khi đó \(V = f\left( r \right) = \pi {r^2}.\frac{{18 - 3r}}{2} = - \frac{{3\pi {r^3}}}{2} + 9\pi {r^2}\) với \(0 < r < 6\)
\(f'\left( r \right) = - \frac{9}{2}\pi {r^2} + 18\pi r = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r = 0\\r = 4\end{array} \right.\)
Khi đó ta không cần phải vẽ BBT ta cũng có thể suy ra được với \(r = 4\) thì V đạt GTLN, khi đó \(V = 48\pi .\)