Toán 12 10 bài trắc nghiệm về Bài Toán Thực Tế ứng Dụng đạo Hàm (phần 2)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1
Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc vật thể bắt đầu chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a(t) là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?
gia tốc a(t) của một vật thể.png

A. Giấy thứ nhất
B. Giấy thứ 3
C. Giấy thứ 10
D. Giấy thứ 7
Gia tốc a là đạo hàm của v, v đạt cực trị khi a=0.
Vậy nên vận tốc của vật sẽ lớn nhất tại thời điểm mà a=0 và gia tốc đổi từ dương sang âm (vận tốc của vật sẽ nhỏ nhất tại thời điểm mà a=0 và gia tốc đổi từ âm sang dương).
Nhìn vào đồ thị ta thấy trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 thì chỉ có tại giây thứ 3 gia tốc a = 0 và gia tốc đổi từ dương sang âm.
Vậy nên tại giây thứ 3 thì vận tốc của vật là lớn nhất.
Câu 3
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB=5 (km). Trên bờ biển có 1 cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 (km). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4 (km/h) rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 (km/h). Tìm khoảng cách giữa M và B để người đó đi đến kho nhanh nhất.
A. \(2\sqrt 3 \,(km)\)
B. \(5\sqrt 2 \,(km)\)
C. \(2\sqrt 5 \,(km)\)
D. \(5\,(km)\)
Đặt \(BM = x \Rightarrow MC = 7 - x;AM = \sqrt {{x^2} + 25}\)
Gọi t là thời gian đi từ A đến C của người đó.
Ta có: \(t(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6} = \frac{{6\sqrt {{x^2} + 25} + 4(7 - x)}}{{25}}\)
\(\begin{array}{l} t' = \frac{{6x - 4\sqrt {{x^2} + 25} }}{{24\sqrt {{x^2} + 25} }}\\ t' = 0 \Leftrightarrow 3x = 2\sqrt {{x^2} + 25} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x = \pm 2\sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số t(x) đạt giác trị nhỏ nhất tại \(x = 2\sqrt 5 .\)
Câu 4
Một vật chuyển động theo quy luật s = - \frac{1}{2}{t^3} + 12{t^2}, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 512 (m/s)
B. 90 (m/s)
C. 700 (m/s).
D. 96 (m/s)
Ta có
\(v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 24t \Rightarrow v'(t) = - 3t + 24;v' = 0 \Leftrightarrow t = 8.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số v(t) đạt giá trị lớn nhất tại t = 8 giá trị lớn nhất v(8) = 96
Câu 5
Trong lĩnh vực thủy lợi, mương được gọi là cái dạng “thủy động học” nếu với tiết diện ngang \(T_n\) của mương có diện tích xác định, độ dài đường biên giới \(\l\) của \(T_n\) nhỏ nhất. Cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “thủy động học”. Giả sử mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật (như hình vẽ) với diện tích bằng 200 m2. Xác định kích thước của mương dẫn nước để mương có dạng “thủy động học”.
phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng.png


A. x = 20, y = 10(m)
B. x = 40, y = 5(m)
C. x = 25, y = 8(m)
D. x = 50, y = 4(m)
Mương dẫn nước đã có tiết diện ngang với diện tích xác định bằng 200 m2
Khi đó để mương có dạng “thủy động học” thì cần nhỏ nhất.
Ta có xy = 200 và \(\ell = x + 2y \Rightarrow l = x + 2.\frac{{200}}{x} = x + \frac{{400}}{x}\)
Xét hàm số \(f(x) = x + \frac{{400}}{x}\) với x > 0
Ta có: \(f'(x) = 1 - \frac{{400}}{{{x^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 20\,(do\,x > 0)\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 20
Với \(x = 20 \Rightarrow y = 10\)
Câu 6
Trên một đoạn đường giao thông có 2 con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M cách đường OE 125m và cách đường Ox 1km. Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường thẳng AB đi qua vị trí M. Chọn vị trí của A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất.
n vị trí của A và B để hoàn thành con đường.png

A. \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\,(km)\)
B. \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{4}\,(km)\)
C. \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{8}\,(km)\)
D. \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{{12}}\,(km)\)
Chọn hệ trục tọa độ là Oxy với OE nằm trên Oy. Khi đó tọa độ \(M\left( {\frac{1}{8};1} \right)\)
Gọi \(B\left( {m;0} \right),A\left( {0;n} \right)\,\,\left( {m,n > 0} \right)\)
Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng AB là: \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\)
Do đường thẳng AB đi qua \(M\left( {\frac{1}{8};1} \right)\) nên \(\frac{1}{{8m}} + \frac{1}{n} = 1 \Rightarrow \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{8m}} = \frac{{8m - 1}}{{8m}} \Rightarrow n = \frac{{8m}}{{8m - 1}}\)Ta có: \(A{B^2} = {m^2} + {n^2} = {m^2} + {\left( {\frac{{8m}}{{8m - 1}}} \right)^2}\)
Xét hàm số \(f(m) = {m^2} + {\left( {\frac{{8m}}{{8m - 1}}} \right)^2}\) với m > 0
\(f'(m) = 2m - \frac{{128m}}{{{{(8m - 1)}^3}}} = 2m\left( {1 - \frac{{64}}{{{{(8m - 1)}^3}}}} \right)\)\(f'(m) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{8}\,(do\,m > 0)\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá tị nhỏ nhất tại \(m=\frac{5}{8}\)
Vậy độ dài ngắn nhất đoạn đường AB là: \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{8}\,(km).\)
Câu 7
Bạn A có một đoạn dây dài 20 m. Bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất.
A. \(\frac{{40}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\)
B. \(\frac{{180}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\)
C. \(\frac{{120}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\)
D. \(\frac{{60}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\)
Gọi x là độ dài đoạn dây uốn thành tam giá đều suy ra: 20-x là độ dài đoạn dây uốn thành hình vuông.
Nên độ dài cạnh tam giác đều là x/3 và độ dài cạnh hình vuông là \(\frac{{20 - x}}{4}m.\)
Tổng diện tích của tam giác đều và hình vuông là \(S = {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} + {\left( {\frac{{20 - x}}{4}} \right)^2}.\)
Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} + \frac{{{{\left( {20 - x} \right)}^2}}}{{16}}\)
Xét hàm số f(x) với 0<x<20 ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{x\sqrt 3 }}{{18}} - \frac{{20 - x}}{8};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{180}}{{9 + 4\sqrt 3 }}.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{180}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Câu 8
Người ta thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72 và có chiều cao bằng 3 dm. Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm) như hình vẽ. Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bể dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.
bể dày các tấm kính như nhau.jpg

A. \(a = \sqrt {24} ,b = \sqrt {21}\)
B. \(a = 3,b = 8\)
C. \(a = 3\sqrt 2 ,b = 4\sqrt 2\)
D. \(a = 4,b = 6\)
Ta có: \(V = ab.3 - 72 \Rightarrow ab = 24 \Rightarrow b = \frac{{24}}{a}\)
Diện tích toàn bộ bề mặt các tấm kính là:
\(S = 3a.3 + 3b.2 + ab = 9a + 6b + 24 = 9a + 6.\frac{{24}}{a} + 24 = 9a + \frac{{144}}{a} + 24.\)
Xét hàm số: \(f(a) = 9a + \frac{{144}}{a} + 24,\,a > 0\)
\(\begin{array}{l} f'(a) = - \frac{{144}}{{{a^2}}} + 9\\ f'(a) = 0 \Leftrightarrow {a^2} = 16 \Rightarrow a = 4\,(do\,\,a > 0) \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(a) đạt giá trị nhỏ nhất tại a=4, suy ra b=6.
Vậy a=4, b=6 là các giá trị cần tìm.
Câu 9
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{2}{3}{t^3} + 7{t^2} + 3\) với t (giây) \(\left( {7 \ge t \ge 0} \right)\) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là 12 m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét.
A. 141 (m)
B. 39 (m)
C. 111 (m)
D. \(\frac{28}{3}\) (m)
\(\begin{array}{l} s = f\left( t \right) = - \frac{2}{3}{t^3} + 7{t^2} + 3 \Rightarrow v = f'\left( t \right) = - 2{t^2} + 14t\\ \Rightarrow v = 12 \Leftrightarrow - 2{t^2} + 14t = 12 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 6}\\ {t = 1} \end{array}} \right. \end{array}\)
Khi vật đạt vận tốc là 12 m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được \(t=6s.\)
Lúc đó, quãng đường vật đi được là: \(s = f\left( 6 \right) = 111\) (mét).
Câu 10:
Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên là nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
A. 26,43 cm
B. 33,61 cm
C. 40,62 cm
D. 30,54 cm
Sợi dây kim loại 60 cm được căt làm hai đoạn có độ dài lần lượt là x và 60-x.
Giả sử đoạn có độ dài là x dùng làm hình vuông, khi đó cạnh hình vuông là \(\frac{x}{4}\) diện tích hình vuông \({S_1} = \frac{{{x^2}}}{{16}}.\)
Đoạn có độ dài 60-x dùng vòng tròn, khi đó bán kính vòng tròn là \(r = \frac{{60 - x}}{{2\pi }},\) diện tích vòng tròn là \({S_2} = \pi {r^2} = \frac{{{{(60 - x)}^2}}}{{4\pi }}.\)
Vậy tổng diện tích là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {60 - x} \right)}^2}}}{{4\pi }}\)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {60 - x} \right)}^2}}}{{4\pi }},\,\,0 < x < 60\)
Ta có: \(f'(x) = \frac{{(\pi + 4)x - 240}}{{8\pi }};\,\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{240}}{{\pi + 4}} \approx 33,61.\)