Câu 1:
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
A. \(y = - {\log _{\frac{1}{3}}}x\)
B. \(y = {\log _\pi }x\)
C. \(y = {\log _2}\left( {\frac{1}{x}} \right)\)
D. \(y = {\log _2}x\)
Câu 2:
Cho \({\log _5}3 = a,\,{\log _7}5 = b\). Biểu diễn \({\log _{15}}105\) theo a và b.
A. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + a + ab}}{{\left( {1 + a} \right)b}}\)
B. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + a + ab}}{1+a}\)
C. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + a + b}}{{\left( {1 + a} \right)b}}\)
D. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + b + ab}}{{\left( {1 + a} \right)b}}\)
Câu 3:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \log \left( {{x^3} - 3x + 2} \right).\)
A. \(D = \left( { - 2;1} \right)\)
B. \(D = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left( { 1; + \infty } \right)\)
D. \(D = \left( { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Câu 4:
Cho các số thực a, b thỏa \(1 < a < b\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} < 1 < \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
B. \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} < \frac{1}{{{{\log }_b}a}} < 1\)
C. \(1 < \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
D. \(\frac{1}{{{{\log }_b}a}} < 1 < \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\)
Câu 5:
Đặt \(a = {\log _3}5;b = lo{g_4}5\). Hãy biểu diễn \({\log _{15}}20\) theo a và b.
A. \({\log _{15}}20 = \frac{{a\left( {1 + a} \right)}}{{b\left( {a + b} \right)}}\)
B. \({\log _{15}}20 = \frac{{b\left( {1 + a} \right)}}{{a\left( {1 + b} \right)}}\)
C. \({\log _{15}}20 = \frac{{b\left( {1 + b} \right)}}{{a\left( {1 + a} \right)}}\)
D. \({\log _{15}}20 = \frac{{a\left( {1 + b} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}\)
Câu 6:
Xác định a, b sao cho \({\log _2}a + {\log _2}b = {\log _2}\left( {a + b} \right).\)
A. \(a + b = ab\) với \(a.b>0\)
B. \(a + b =2 ab\) với \(a,b>0\)
C. \(a + b = ab\) với \(a,b>0\)
D. \(2\left ( a + b \right )=ab\) với \(a,b>0\)
Câu 7:
Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(\ln (ab) = \ln a + \ln b.\)
B. \(\ln (ab) = \ln a . \ln b.\)
C. \(\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}.\)
D. \(\ln \frac{a}{b} = \ln b - \ln a.\)
Câu 8:
Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b\)
B. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a - {\log _2}b\)
C. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a + {\log _2}b\)
D. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a + {\log _2}b\)
Câu 9:
Tính đạo hàm của hàm số \(\ln \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right).\)
A. \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{1 + \sqrt {x + 1} }}\)
C. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\)
D. \(y' = \frac{2}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\)
Câu 10:
Xét các số thực a, b thỏa mãn \(a>b>1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(P_{min}\) của biểu thức \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right).\)
A. \(P_{min}=19\)
B. \(P_{min}=13\)
C. \(P_{min}=14\)
D. \(P_{min}=15\)
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
A. \(y = - {\log _{\frac{1}{3}}}x\)
B. \(y = {\log _\pi }x\)
C. \(y = {\log _2}\left( {\frac{1}{x}} \right)\)
D. \(y = {\log _2}x\)
Với a>1 thì hàm số \({\log _a}x\) đồng biến, hàm số \(- {\log _a}x\) và \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right)\) nghịch biến trên tập xác định.
Với 0<a<1 thì hàm số \({\log _a}x\) nghịch biến, hàm số \(- {\log _a}x\) và \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right)\) đồng biến trên tập xác định.
Vậy: Dựa vào các kết quả trên, ta có các hàm số ý A, B, D đồng biến trên TXĐ, hàm số ở ý C nghịch biến trên TXĐ.
Với 0<a<1 thì hàm số \({\log _a}x\) nghịch biến, hàm số \(- {\log _a}x\) và \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right)\) đồng biến trên tập xác định.
Vậy: Dựa vào các kết quả trên, ta có các hàm số ý A, B, D đồng biến trên TXĐ, hàm số ở ý C nghịch biến trên TXĐ.
Cho \({\log _5}3 = a,\,{\log _7}5 = b\). Biểu diễn \({\log _{15}}105\) theo a và b.
A. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + a + ab}}{{\left( {1 + a} \right)b}}\)
B. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + a + ab}}{1+a}\)
C. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + a + b}}{{\left( {1 + a} \right)b}}\)
D. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + b + ab}}{{\left( {1 + a} \right)b}}\)
Ta có: \({\log _5}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}5}} = \frac{1}{b}\)
\({\log _{12}}105 = \frac{{{{\log }_5}105}}{{{{\log }_5}15}} = \frac{{lo{g_5}(3.5.7)}}{{lo{g_5}(3.5)}} = \frac{{1 + {{\log }_5}3 + {{\log }_5}7}}{{1 + {{\log }_5}3}} = \frac{{1 + b + ab}}{{b(1 + a)}}\)
\({\log _{12}}105 = \frac{{{{\log }_5}105}}{{{{\log }_5}15}} = \frac{{lo{g_5}(3.5.7)}}{{lo{g_5}(3.5)}} = \frac{{1 + {{\log }_5}3 + {{\log }_5}7}}{{1 + {{\log }_5}3}} = \frac{{1 + b + ab}}{{b(1 + a)}}\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \log \left( {{x^3} - 3x + 2} \right).\)
A. \(D = \left( { - 2;1} \right)\)
B. \(D = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left( { 1; + \infty } \right)\)
D. \(D = \left( { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Điều kiện xác định: \({x^3} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x > - 2 \end{array} \right.\)
Cho các số thực a, b thỏa \(1 < a < b\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} < 1 < \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
B. \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} < \frac{1}{{{{\log }_b}a}} < 1\)
C. \(1 < \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
D. \(\frac{1}{{{{\log }_b}a}} < 1 < \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\)
Do \(1 < a < b\) nên \(0 < {\log _b}a < 1 \Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_b}a}} > 1\) (1)
Do nên \({\log _a}b > 1 \Rightarrow 0 < \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < 1\) (2)
(1)(2)\(\Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < 1 < \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
Do nên \({\log _a}b > 1 \Rightarrow 0 < \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < 1\) (2)
(1)(2)\(\Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < 1 < \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
Đặt \(a = {\log _3}5;b = lo{g_4}5\). Hãy biểu diễn \({\log _{15}}20\) theo a và b.
A. \({\log _{15}}20 = \frac{{a\left( {1 + a} \right)}}{{b\left( {a + b} \right)}}\)
B. \({\log _{15}}20 = \frac{{b\left( {1 + a} \right)}}{{a\left( {1 + b} \right)}}\)
C. \({\log _{15}}20 = \frac{{b\left( {1 + b} \right)}}{{a\left( {1 + a} \right)}}\)
D. \({\log _{15}}20 = \frac{{a\left( {1 + b} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}\)
Ta có: \({\log _{15}}20 = \frac{{{{\log }_3}20}}{{{{\log }_3}15}} = \frac{{{{\log }_3}4 + {{\log }_3}5}}{{1 + {{\log }_3}5}} = \frac{{a\left( {1 + b} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}.\)
Xác định a, b sao cho \({\log _2}a + {\log _2}b = {\log _2}\left( {a + b} \right).\)
A. \(a + b = ab\) với \(a.b>0\)
B. \(a + b =2 ab\) với \(a,b>0\)
C. \(a + b = ab\) với \(a,b>0\)
D. \(2\left ( a + b \right )=ab\) với \(a,b>0\)
Điều kiện \(a,b > 0.\)
Mặc khác: \({\log _2}a + {\log _2}b = {\log _2}\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow ab = a + b\)
Mặc khác: \({\log _2}a + {\log _2}b = {\log _2}\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow ab = a + b\)
Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(\ln (ab) = \ln a + \ln b.\)
B. \(\ln (ab) = \ln a . \ln b.\)
C. \(\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}.\)
D. \(\ln \frac{a}{b} = \ln b - \ln a.\)
Với các số thực dương a,b bất kì ta có: \(\ln (ab) = \ln a + \ln b.\)
Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b\)
B. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a - {\log _2}b\)
C. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a + {\log _2}b\)
D. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a + {\log _2}b\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = {\log _2}(2{a^3}) - {\log _2}b\\ = {\log _2}2 + {\log _2}{a^3} - {\log _2}b = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b. \end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(\ln \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right).\)
A. \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{1 + \sqrt {x + 1} }}\)
C. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\)
D. \(y' = \frac{2}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\)
\(y' = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{1 + \sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}.\)
Xét các số thực a, b thỏa mãn \(a>b>1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(P_{min}\) của biểu thức \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right).\)
A. \(P_{min}=19\)
B. \(P_{min}=13\)
C. \(P_{min}=14\)
D. \(P_{min}=15\)
\(\begin{array}{l} P = \frac{1}{{{{\left( {{{\log }_{{a^2}}}\frac{a}{b}} \right)}^2}}} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) = \log _{\frac{a}{b}}^2({a^2}) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\\ = {\left( {\frac{{{{\log }_b}{a^2}}}{{{{\log }_b}\frac{a}{b}}}} \right)^2} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) = {\left( {\frac{{2{{\log }_b}a}}{{{{\log }_b}a - 1}}} \right)^2} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) \end{array}\)
Đặt: \(x = {\log _b}a - 1\) do a>b>1 nên x>0. Ta có:
\(f(x) = 4{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^2} + 3x\) và \(f'(x) = - \frac{8}{{{x^2}}}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 3\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = 0 \Leftrightarrow - \frac{8}{{{x^2}}}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 8(x + 1) = 3{x^2} \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=2.
Giá trị nhỏ nhất \(f(2) = 15 \Rightarrow {P_{\min }} = 15.\)
Đặt: \(x = {\log _b}a - 1\) do a>b>1 nên x>0. Ta có:
\(f(x) = 4{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^2} + 3x\) và \(f'(x) = - \frac{8}{{{x^2}}}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 3\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = 0 \Leftrightarrow - \frac{8}{{{x^2}}}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 8(x + 1) = 3{x^2} \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=2.
Giá trị nhỏ nhất \(f(2) = 15 \Rightarrow {P_{\min }} = 15.\)