Toán 12 10 Bài Trắc nghiệm Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số (phần 7)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1
Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3]. Tính giá trị của tỉ số \(\frac{M}{m}\).
A. \(\frac{M}{m}=\frac{4}{3}\)
B. \(\frac{M}{m}=\frac{5}{3}\)
C. \(\frac{M}{m}=2\)
D. \(\frac{M}{m}=\frac{2}{3}\)
Hàm số đã xác định và liên tục trên đoạn [0;3]
\(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} - x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} x \in \left( {0;3} \right)\\ y' = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow x = 1.\)
Ta có \(f(0) = 4;f(1) = 3;f(3) = 4.\)
Do đó \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 3;{\rm{ }}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 4 \Rightarrow \frac{M}{m} = \frac{4}{3}.\)
Câu 2
Cho hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x - 1} \right|.\) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\)
A. \(M = \frac{{17}}{8}.\)
B. \(M = \frac{{9}}{4}.\)
C. \(M =2.\)
D. \(M = 3.\)
Xét hàm số \(f(x) = 2{x^2} - 3x - 1\) trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Ta có \(f'(x) = 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\)
Lại có: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - 2;f\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{ - 17}}{8};f(1) = - 2\)
\(\Rightarrow f(x) \in \left[ {\frac{{ - 17}}{8}; - 2} \right] \Rightarrow \left| {f(x)} \right| \in \left[ {2;\frac{{17}}{8}} \right]\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} y = \frac{{17}}{8}.\)
Câu 3
Cho hàm số \(y = {x^3} + 5x + 7.\) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-5;0] bằng bao nhiêu?
A. 80
B. -143
C. 5
D. 7
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 5 > 0;\forall x \in \left[ { - 5;\;0} \right]\)
\(y( - 5) = - 143;y(0) = 7\)\(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;\;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = 7\)
Câu 4
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{mx + 1}}{{x - m}}\) có giá trị lớn nhất trên [1;2] bằng -2.
A. m=-3
B. m=2
C. m=4
D. m=3
Tập xác định: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ m \right\}\).
Để hàm số có giá trị lớn nhất trên [1;2] thì \(m \notin \left[ {1;\;2} \right]\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\)
\(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{m + 1}}{{1 - m}}\)
Theo đề bài: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = - 2 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{1 - m}} = - 2 \Leftrightarrow m + 1 = 2m - 2 \Leftrightarrow m = 3.\)
Câu 5
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \cdot\) Khi đó tích m.M bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{1}{3}\)
B. 3
C. \(\frac{10}{3}\)
D. 1
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
\(y' = \frac{{2{x^2} - 2}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}};\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\)
Bảng biến thiên:

Vậy \(M = 3;m = \frac{1}{3} \Rightarrow m.M = 1\).
Câu 6
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn [-4;4]. Khi đó tổng n+M bằng bao nhiêu?
A. 48
B. 11
C. -1
D. 55
\(y' = 3{x^2} - 6x - 9\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\,\, \in \left[ { - 4;4} \right]\\ x = 3\,\,\,\,\, \in \left[ { - 4;4} \right] \end{array} \right.\)
\(y\left( { - 1} \right) = 40;\)\(y\left( 3 \right) = 8\); \(y(4)=15; y(-4)=-41.\)
Vậy: \(M = 40;m = - 41 \Rightarrow m + M = - 1.\)
Câu 7
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}\) trên tập hợp \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]\).
A. \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0;\) không tồn tại \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right).\)
B. \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0;\)\(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)=-\sqrt 5.\)
C. \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0;\) \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)=-1.\)
D. \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)=0;\) không tồn tại \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right).\)
Ta có: \(y' = {\left[ {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}} \right]^\prime } = \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} {{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \notin D\).
Bảng biến thiên:
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số.png

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0\); \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right) = - \sqrt 5\).
Câu 8
Tìm S là tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt {2 - {x^2}} - x.\)
A. \(S = 2 - \sqrt 2\)
B. \(S = 2\)
C. \(S = 2 +\sqrt 2\)
D. \(S =1\)
Hàm số xác định khi và chỉ khi:\(2 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \Rightarrow D = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)
Khi đó:\(y' = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} - x} \right)' = - \frac{{x + \sqrt {2 - {x^2}} }}{{\sqrt {2 - {x^2}} }} \Rightarrow y' = 0 \Rightarrow x + \sqrt {2 - {x^2}} = 0\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 0}\\ {{x^2} = 2 - {x^2}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 0}\\ {{x^2} = 1} \end{array} \Rightarrow x = - 1} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{\left( { - \sqrt 2 } \right)}} = \sqrt 2 }\\ {{y_{\left( { - 1} \right)}} = 2} \end{array}}\\ {{y_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = - \sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\max y = {y_{\left( { - 1} \right)}} = 2}\\ {\min y = {y_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = - \sqrt 2 } \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \max y + \min y = 2 - \sqrt 2 . \end{array}\)
Câu 9
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình {x^2} - 4x + m = 2\sqrt {5 + 4x - {x^2}} + 5 có nghiệm.
A. \(- 1 \le m \le 2\sqrt 3.\)
B. \(0 \le m \le 15.\)
C. \(m\geq -1\)
D. \(m\geq 0\)
Điều kiện đối với \(x\in \left [ -1;5 \right ]\)
Đặt \(t = \sqrt {5 + 4x - {x^2}} \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\)
Khi đó phương trình trở thành \(m=2t+t^2\).
Tìm GTLN – GTNN của hàm \(g\left( t \right) = {t^2} + 2t,t \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow 0 \le g\left( t \right) \le 15.\)
Vậy để phương trình có nghiệm thì \(0 \le m \le 15.\)
Câu 10
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + \frac{{54}}{{x - 2}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
A. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = 0\)
B. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = - 13\)
C. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = 23\)
D. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = - 21\)
Ta có: \(y' = 2x - 4 - \frac{{54}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^3} - 27} \right]}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) .
\(y' = 0 \Rightarrow x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5;\,y\left( 5 \right) = 23.\)
Bảng biến thiên:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.png

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = y\left( 5 \right) = 23\).