Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1
Gọi M mà m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}}.\) Tính giá trị của M-m
A. M=m=-2
B. M-m=-1
C. M-m=1
D. M-m=2
Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}}.\)
Tập xác định: D =[0; 1]
Do \(0 \le x \le 1\) nên \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{{\sqrt 1 }}{{\sqrt 1 }} = 1.\)
Dấu bằng xảy ra khi x=0, khi đó y=1.
Mặt khác \(0 \le x \le 1\) với thì \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \ge \frac{{\sqrt {1 - x} - {{2.1}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = - 1.\)
Dấu bằng xảy ra khi x=1, khi đó y=-1.
Vậy M=1, m=-1 suy ra M-m=2.
Câu 2
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2x + \ln \left( {1 - 2x} \right)\) trên [-1; 0].
A. \(m = - 2 + \ln 3\)
B. \(m = 0\)
C. \(m = -1\)
D. \(m = 2 + \ln 3\)
\(y' = 2 - \frac{2}{{1 - 2x}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( { - 1} \right) = - 2 + \ln 3\)
Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 0] là \(m = y\left( { - 1} \right) = - 2 + \ln 3.\)
Câu 3
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1]
A. \(m\geq 1\)
B. \(m \leq 1\)
C. \(0\leq m \leq 1\)
D. \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)
\({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} \Rightarrow m = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \ge 0\)
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) liên tục trên đoaạn [0;1].
\(\begin{array}{l} y' = \frac{{ - {x^4} - 2{x^3} + 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - (x - 1){{(x + 1)}^3}}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\,\, \in \left[ {0;1} \right]\\ x = - 1\,\, \notin \left[ {0;1} \right] \end{array} \right.. \end{array}\)
Ta có: \(f(0) = 1;\,\,f(1) = \frac{3}{4}.\)
Kết luận: Để phương trình có nghiệm thuộc [0;1] thì \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)
Câu 4
Tìm giá trị của x để hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}\) có giá trị lớn nhất?
A. \(x= \sqrt 2 .\)
B. \(x=3.\)
C. \(x= 2.\)
D. \(x=1.\)
Tập xác định của hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}\) là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = {\left( {{2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}} \right)^\prime } = \left( {\frac{2}{{x\ln 3}} - \frac{{2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}.\ln 2\\ = \left( {\frac{{2 - 2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}.\ln 2 \end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{{x\ln 3}} - \frac{{2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}.\ln 3 = 0 \Leftrightarrow {\log _3}x = 1 \Leftrightarrow x = 3.\)
Bảng biến thiên:
Tìm giá trị của x để hàm số.png

Dựa và bảng biến thiên ta có hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại x=3.
Câu 5
Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 1\) trên đoạn [-1;3]. Khi đó tổng M+m có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (0;2)
B. (3;5)
C. (59;61)
D. (39;42)
Ta có \(y' = 6{x^2} + 6x - 12\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ { - 1;3} \right]\\ x = - 2 \notin \left[ { - 1;3} \right] \end{array} \right..\)
Mà \(y(1) = - 6;y(3) = 46;y( - 1) = 14\) nên \(M = 46;m = - 6 \Rightarrow M + m = 40 \in \left( {39;42} \right).\)
Câu 6
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = \frac{x}{{{x^2} + 1}} trên đoạn [0;2].
A. \(M = \frac{2}{5};\,m = 0\)
B. \(M = \frac{1}{2};m = 0\)
C. \(M = 1;m = \frac{1}{2}\)
D. \(M = \frac{1}{2};\,m = - \frac{1}{2}\)
Ta có \(y' = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)
Ta có \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( 1 \right) = \frac{1}{2};\,\,y\left( 2 \right) = \frac{2}{5}\)
Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 0;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \frac{1}{2}.\)
Câu 7
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = \cos 2x + 4\cos x + 1.
A. M=5
B. M=4
C. M=6
D. M=7
\(y = \cos 2x + 4\cos x + 1 = 2{\cos ^2}x + 4\cos x\)
Đặt \(t = \cos x,\,\,1 - \le t \le 1\)
Khi đó ta có hàm số: \(f(t) = 2{t^2} + 4t,\, - 1 \le t \le t\)
\(\begin{array}{l} f'(t) = 4t + 4\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \end{array}\)
Ta có: \(f(1) = 6;\,\,f( - 1) = - 2\)
Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất là M=6.
Câu 8
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = - {x^3} - 2{x^2} + 7x - 1\) trên \([-3;2]\)
A. M=3
B. M=-1
C. M=4
D. M=-13
Xét hàm số \(y = - {x^3} - 2{x^2} + 7x - 1\) trên đoạn \([-3;2]\)
ta có \(y' = 7 - 4x - 3{x^2};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - \frac{7}{3} \end{array} \right.\)
Tính các giá trị \(y( - 3) = - 13,y(1) = 3,y\left( { - \frac{7}{3}} \right) = - \frac{{419}}{{27}},y(2) = - 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3.
Câu 9
Cho hàm số \(y = \cos x + \sqrt {1 - {{\cos }^2}x}\) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Tính \(S=M+m\)
A. \(S = 1 + \sqrt 2\)
B. \(S = \sqrt 2\)
C. \(S = \sqrt 2-1\)
D. \(S = \frac{\sqrt 2}{2}-1\)
Đặt \(t = \cos x \in [ - 1;1],\) khi đó \(f(t) = t + \sqrt {1 - {t^2}} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Tính các giá trị \(f( - 1) = - 1,f(1) = 1,f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 .\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} M = \sqrt 2 \\ m = 0 \end{array} \right. \Rightarrow M + m = \sqrt 2 - 1.\)
Câu 10
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{m^3}x + 2}}{{x - m}}\) trên [-1;1] bằng 2.
A. \(\left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
B. m = 0
C. \(m = \pm \sqrt 2\)
D. Không tồn tại m
Để hàm số liên tục trên [-1;1] thì \(m \notin \left[ { - 1;1} \right]\)
Khi đó: \(y = \frac{{{m^3}x + 2}}{{x - m}} \Rightarrow y' = - \frac{{{m^4} + 2}}{{{{(x - m)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\) suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên [-1;1]
Mặt khác hàm số liên tục trên đoạn [-1;1] nên:
\(\mathop {\min }\limits_{[ - 1;1]} y = y(1) = \frac{{{m^3} + 2}}{{1 - m}} = 2 \Leftrightarrow {m^3} + 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0 \in \left[ { - 1;1} \right].\)
Vậy không có giá trị m nào thỏa yêu cầu bài toán.