Câu 1
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\).
A. M=0; m=-4
B. M=8, Hàm số không có giá trị nhỏ nhất
C. M=4; m=0
D. \(M = 4,\,m = \frac{3}{{16}}\)
Câu 2
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn [-1;2]
A. m=-4
B. m=2
C. m=-1
D. m=23
Câu 3
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = x + \sqrt {18 - {x^2}}\).
A. \(m = - 3\sqrt 2 ;\,M = 3\sqrt 2\)
B. \(m = 0 ;\,M = 3\sqrt 2\)
C. \(m = 0;\,M = 6\)
D. \(m = - 3\sqrt 2 ;\,M = 6\)
Câu 4
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 1 trên đoạn \(\left[ { - 2;\,4} \right]\). Tính tổng M+m.
A. M+m=-18
B. M+m=-2
C. M+m=14
D. M+m=-22
Câu 5
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + m = 0\) có nghiệm.
A. \(0 \le m \le 2\)
B. \(\left| m \right| \ge 2\)
C. \(-2 \le m \le 0\)
D. \(-2 \le m \le 2\)
Câu 6
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3] bằng \(\frac{5}{6}\).
A. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{3}{5}\)
B. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\)
C. \(m=3\)
D. \(m=2\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\)
Câu 7
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x}\) trên đoạn [-1;1].
A. M=9
B. M=3
C. M=1
D. M=0
Câu 8
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 trên khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).
A. \(m=5\)
B. \(m=\frac{23}{27}\)
C. \(m=1\)
D. \(m=\frac{1}{27}\)
Câu 9
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2x + 3\sqrt {9 - {x^2}} .\)
A. m=-6
B. m=-9
C. m=9
D. m=0
Câu 10
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = {\sin ^4}x - {\sin ^3}x.\)
A. M=0
B. M=2
C. M=3
D. M=-1
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\).
A. M=0; m=-4
B. M=8, Hàm số không có giá trị nhỏ nhất
C. M=4; m=0
D. \(M = 4,\,m = \frac{3}{{16}}\)
Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 4;f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\)
\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x\)
Với \(x \in \left[ { - \frac{1}{2};2} \right],f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2\)
Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3.\frac{1}{{16}},f\left( 0 \right) = 4,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 0,f\left( 2 \right) = 4\)
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\) lần lượt là 4 và 0.
\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x\)
Với \(x \in \left[ { - \frac{1}{2};2} \right],f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2\)
Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3.\frac{1}{{16}},f\left( 0 \right) = 4,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 0,f\left( 2 \right) = 4\)
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\) lần lượt là 4 và 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn [-1;2]
A. m=-4
B. m=2
C. m=-1
D. m=23
\(\begin{array}{l} y = {x^4} + 2{x^2} - 1\\ \Rightarrow y' = 4{x^3} + 2x = 2x(2{x^2} + 1)\\ y' = 0 \Rightarrow x = 0 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} y(0) = - 1\\ y( - 1) = 2\\ y(2) = 23 \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;2] là -1.
\(\begin{array}{l} y(0) = - 1\\ y( - 1) = 2\\ y(2) = 23 \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;2] là -1.
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = x + \sqrt {18 - {x^2}}\).
A. \(m = - 3\sqrt 2 ;\,M = 3\sqrt 2\)
B. \(m = 0 ;\,M = 3\sqrt 2\)
C. \(m = 0;\,M = 6\)
D. \(m = - 3\sqrt 2 ;\,M = 6\)
TXĐ: \(D = \left[ { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right]\)
\(\begin{array}{l} y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {18 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {18 - {x^2}} \\ - 3\sqrt 2 < x < 3\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^2} = 18 - {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {18 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {18 - {x^2}} \\ - 3\sqrt 2 < x < 3\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^2} = 18 - {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3. \end{array}\)
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 1 trên đoạn \(\left[ { - 2;\,4} \right]\). Tính tổng M+m.
A. M+m=-18
B. M+m=-2
C. M+m=14
D. M+m=-22
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\\ y( - 2) = - 19;\,y(0) = 1;\,y(2) = - 3;\,y(4) = 17\\ \Rightarrow M = 17;\,m = - 19 \Rightarrow M + m = - 2 \end{array}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + m = 0\) có nghiệm.
A. \(0 \le m \le 2\)
B. \(\left| m \right| \ge 2\)
C. \(-2 \le m \le 0\)
D. \(-2 \le m \le 2\)
TXĐ: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)
Xét hàm số \(f(x) = (1 - {x^2})\sqrt {4 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 2;2} \right]\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = - 2x\sqrt {4 - {x^2}} - (1 - {x^2}).\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ = - \frac{{2x(4 - {x^2}) + x(1 - {x^2})}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{3{x^2} - 9x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\\ f( - 2) = f(2) = 0\\ f( - \sqrt 3 ) = f(\sqrt 3 ) = - 2\\ f(0) = 0\\ \Rightarrow \min f(x) = - 2;\,\max f(x) = 2 \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(- 2 \le m \le 2.\)
Xét hàm số \(f(x) = (1 - {x^2})\sqrt {4 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 2;2} \right]\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = - 2x\sqrt {4 - {x^2}} - (1 - {x^2}).\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ = - \frac{{2x(4 - {x^2}) + x(1 - {x^2})}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{3{x^2} - 9x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\\ f( - 2) = f(2) = 0\\ f( - \sqrt 3 ) = f(\sqrt 3 ) = - 2\\ f(0) = 0\\ \Rightarrow \min f(x) = - 2;\,\max f(x) = 2 \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(- 2 \le m \le 2.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3] bằng \(\frac{5}{6}\).
A. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{3}{5}\)
B. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\)
C. \(m=3\)
D. \(m=2\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\)
Với m=1 ta có y=1, nên GTLN của hàm số trên [2;3] bằng 1.
Ta có: \(y' = \frac{{{m^3} - 1}}{{{{(x + {m^2})}^2}}}\)
Với m>1 ta có hàm ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=3.
Ta có: \(\frac{{3m + 1}}{{3 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3 > 1\\ m = \frac{3}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy m=3 thỏa yêu cầu bài toán.
Với m<1 ta có hàm ta có hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=2.
Ta có: \(\frac{{2m + 1}}{{2 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 12m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 > 1\\ m = \frac{2}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy\(m = \frac{2}{5}\) thỏa yêu cầu bài toán.
Ta có: \(y' = \frac{{{m^3} - 1}}{{{{(x + {m^2})}^2}}}\)
Với m>1 ta có hàm ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=3.
Ta có: \(\frac{{3m + 1}}{{3 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3 > 1\\ m = \frac{3}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy m=3 thỏa yêu cầu bài toán.
Với m<1 ta có hàm ta có hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=2.
Ta có: \(\frac{{2m + 1}}{{2 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 12m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 > 1\\ m = \frac{2}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy\(m = \frac{2}{5}\) thỏa yêu cầu bài toán.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x}\) trên đoạn [-1;1].
A. M=9
B. M=3
C. M=1
D. M=0
TXĐ : \(D = \left[ { - \infty ;\frac{5}{4}} \right]\) nên hàm số liên tục và xác định trên [-1;1].
Đạo hàm : \(y' = - \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) nên nghịch biến trên [-1;1].
Vậy: \(M = y\left( { - 1} \right) = 3.\)
Đạo hàm : \(y' = - \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) nên nghịch biến trên [-1;1].
Vậy: \(M = y\left( { - 1} \right) = 3.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 trên khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).
A. \(m=5\)
B. \(m=\frac{23}{27}\)
C. \(m=1\)
D. \(m=\frac{1}{27}\)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\)
\(t = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 2 = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\)
Do \(t \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow y' = 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Miny = y\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}}\)
\(t = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 2 = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\)
Do \(t \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow y' = 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Miny = y\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2x + 3\sqrt {9 - {x^2}} .\)
A. m=-6
B. m=-9
C. m=9
D. m=0
Điều kiện \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\)
\(y' = 2 - \frac{{3{\rm{x}}}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = 0 \Rightarrow 4\left( {9 - {x^2}} \right) = 9{{\rm{x}}^2} \Rightarrow x = \pm \sqrt 2\)
\(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { - 3} \right) = - 6;y\left( 3 \right) = 6\)
Vậy m=-6.
\(y' = 2 - \frac{{3{\rm{x}}}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = 0 \Rightarrow 4\left( {9 - {x^2}} \right) = 9{{\rm{x}}^2} \Rightarrow x = \pm \sqrt 2\)
\(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { - 3} \right) = - 6;y\left( 3 \right) = 6\)
Vậy m=-6.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = {\sin ^4}x - {\sin ^3}x.\)
A. M=0
B. M=2
C. M=3
D. M=-1
Đặt \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = t;t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^4} - {t^3}\) trên \(\left[ { - 1;1} \right].\)
Khi đó \(y' = f'\left( t \right) = 4{t^3} - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \frac{3}{4} \end{array} \right.\)
Ta có \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = Max\left\{ {f\left( { - 1} \right);f\left( 1 \right);f\left( 0 \right);f\left( {\frac{3}{4}} \right)} \right\} = f\left( { - 1} \right) = 2\).
Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^4} - {t^3}\) trên \(\left[ { - 1;1} \right].\)
Khi đó \(y' = f'\left( t \right) = 4{t^3} - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \frac{3}{4} \end{array} \right.\)
Ta có \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = Max\left\{ {f\left( { - 1} \right);f\left( 1 \right);f\left( 0 \right);f\left( {\frac{3}{4}} \right)} \right\} = f\left( { - 1} \right) = 2\).