Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s = 6{t^2} - {t^3}\). Tìm thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. t=2
B. t=3
C. t=4
D. t=5
Ta có \(v = s'\) hay \(v = 12t - 3{t^2}\)
Xét hàm số
\(f\left( t \right) = 12t - 3{t^2}\) với \(t > 0\)
\(f'(t) = 12 - 6t\)
Lập bảng biến thiên ta tìm được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=2.
Nên vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2
Câu 2
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8].
A. m=-2
B. m=1
C. m=-3
D. m=-5
Đặt \({\log _2}x = t\) với \(x\in \left[ {1;8} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\)
Khi đó ta xét hàm số \(f(t) = {t^2} - 4t + 1\)
\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
\(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {1;8} \right]} y = \mathop {M\inf (t)}\limits_{t \in \left[ {0;3} \right]} = Min\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 2 \right) = - 3\)
Câu 3
Tìm m để hàm số \(y = \frac{{2mx + 1}}{{m - x}}\) đạt giá trị lớn nhất là \(- \frac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).
A. m=-5
B. m=1
C. m=0
D. m=-2
\(y = \frac{{2mx + 1}}{{m - x}} \Rightarrow y' = \frac{{2{m^2} + 1}}{{{{(m - x)}^2}}} > 0,\forall x \in \backslash {\rm{\{ }}m{\rm{\} }}\)
Nên hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Nếu \(m \in \left[ {2;3} \right]\) thì hàm số không có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3].
Nếu \(m \notin \left[ {2;3} \right]\) thì giá trị lớn nhất của hàm số trên [2;3] là \(y(3) = \frac{{6m + 1}}{{m - 3}} = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow m = 0\).
Câu 4
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = {x^2} - 2{x^2} - 4x + 1\) trên đoạn [1; 3].
A. \(M = - 2.\)
B. \(M = - 4\).
C. \(M = \frac{{67}}{{27}}\)
D. \(M = -7\)
\(y' = 3{x^2} - 4x - 4\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
\(y(1) = - 4;y(2) = - 7;y(3) = - 2\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = - 2\).
Câu 5
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{5x + 3}}{{x - 2}}\) trên [3;5].
A. \(m = \frac{{28}}{3}\)
B. \(m = - \frac{3}{2}\)
C. \(m = - 2\)
D. \(m =5\)
Ta có: \(y'=\frac{{ - 13}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x\ne2\).
Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên [3;5].
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \frac{{28}}{3}\)
Câu 6
Một chất điểm chuyển động theo quy luật v = \frac{1}{4}{t^4} - \frac{3}{2}{t^2} + 2t + 20 (t tính theo giây). Vận tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm nào?
A. t=1 giây
B. t=3 giây
C. t=5 giây
D. t=16 giây
Thực chất đây là bài toán tìm GTNN của hàm số một đoạn cho trước.
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - \frac{3}{2}{t^2} + 2t + 20\) với t>0.
\(f'\left( t \right) = {t^3} - 3t + 2\)
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = - 2\left( l \right)} \end{array}} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t=1.
Câu 7
Tìm là giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x + \sqrt 2 \cos x trên đoạn\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ].
A. \(M = \frac{\pi }{2},m = \sqrt 2\)
B. \(M = \frac{\pi }{4} + 1,m = \sqrt 2\)
C. \(M = 1,m = 0\)
D. \(M = 9,m = 4\)
\(\begin{array}{l} y' = 1 - \sqrt 2 \sin x.{\rm{ }}\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\,\left( {Do\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} \right)\\ y(0) = \sqrt 2 ;y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} + 1;y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow M = \frac{\pi }{4} + 1;m = \sqrt 2 \end{array}\)
Câu 8
Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2 trên [-2;2].
A. M=7 và m=2.
B. M=7 và m=-1.
C. M=7 và m=0.
D. M=7 và m=-20.
\(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x - 9\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Ta có: \(y\left( { - 2} \right) = 0;y\left( 2 \right) = - 20;y\left( { - 1} \right) = 7\)
Vậy M=7, m=-20.
Câu 9
Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\) trên [1;3].
A. m=1; M=3
B. \(m = 0;\,M = \frac{2}{7}\)
C. \(m = 0;\,M = 1\)
D. \(m = - \frac{2}{7};\,M = 0\)
Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\) có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{2}; + \infty } \right)\).
Vì hàm số đã cho liên tục và xác định trên [1;3] nên ta có GTNN của hàm số đó là y(1)=0 và GTLN của hàm số đó là \(y\left( 3 \right) = \frac{2}{7}\)
Câu 10
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2;4].
A. m=6
B. m=-2
C. m=-3
D. \(m = \frac{{19}}{3}\)
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1 \notin \left[ {2;4} \right]}\\ {x = 3 \in \left[ {2;4} \right]} \end{array}} \right.\).
Do hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2;4] và có \(y\left( 2 \right) = 7;y\left( 3 \right) = 6;y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3}\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = 6\).