Câu 1
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y= 3\sin x - 4{\sin ^3}x\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
A. M=3
B. M=7
C. M=1
D. M=-1
Câu 2
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0.
C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
Câu 3
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) trên \(\left[ {1;3} \right]\). Tính tổng \(\left( {M + m} \right)\).
A. 6
B. 4
C. 8
D. 2
Câu 4
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}}\) .
A. \(M=2\sqrt 2\)
B. M=2
C. M=3
D. M=1
Câu 5
Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số: \(y = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\). Tính tổng M+m.
A. M+m=128
B. M+m=0
C. M+m=127
D. M+m=126
Câu 6
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).
A. \(M = - 3\)
B. \(M = \frac{-1}{3}\)
C. \(M = 1\)
D. \(M = \frac{1}{5}\)
Câu 7
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2]?
A. m<0
B. m=2
C. m>0
D. m=-2
Câu 8
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0?
A. m=0
B. m=6
C. m=4
D. m=2
Câu 9
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2;4].
A. m=-2
B. m=6
C. m=-3
D. \(m = \frac{{19}}{3}\)
Câu 10:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = 2x + \sqrt {5 - {x^2}}\).
A. M=5
B. \(M = - 2\sqrt 5\)
C. M=6
D. \(M = - 2\sqrt 6\)
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y= 3\sin x - 4{\sin ^3}x\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
A. M=3
B. M=7
C. M=1
D. M=-1
Đặt \(\sin x = t \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\). Khi đó: \(f(t) = 3t - 4{t^3}\)
\(f'\left( t \right) = \left( {3t - 4{t^3}} \right)' = - 12{t^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Ta có:
\(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\)
\(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1\)
So sánh \(f\left( {\frac{1}{2}} \right)\) và \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right)\)
Suy ra: GTLN của hàm số là \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\).
\(f'\left( t \right) = \left( {3t - 4{t^3}} \right)' = - 12{t^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Ta có:
\(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\)
\(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1\)
So sánh \(f\left( {\frac{1}{2}} \right)\) và \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right)\)
Suy ra: GTLN của hàm số là \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\).
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0.
C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
Phân tích: A sai do hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất là 0.
B sai do hàm số đạt GTLN bằng 1.
C sai do có tồn tại GTLN của hàm số.
B sai do hàm số đạt GTLN bằng 1.
C sai do có tồn tại GTLN của hàm số.
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) trên \(\left[ {1;3} \right]\). Tính tổng \(\left( {M + m} \right)\).
A. 6
B. 4
C. 8
D. 2
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \notin \left[ {1;3} \right]\\ x = 2 \in \left[ {1;3} \right] \end{array} \right.\)
Ta lần lượt so sánh các giá trị \(y\left( 1 \right) = 1,y\left( 2 \right) = - 1\), \(y\left( 3 \right) = 3\).
Do đó: \(M = y\left( 3 \right) = 3,m = y\left( 2 \right) = - 1\).
Nên \(M + m = 3 - 1 = 2\)
Ta lần lượt so sánh các giá trị \(y\left( 1 \right) = 1,y\left( 2 \right) = - 1\), \(y\left( 3 \right) = 3\).
Do đó: \(M = y\left( 3 \right) = 3,m = y\left( 2 \right) = - 1\).
Nên \(M + m = 3 - 1 = 2\)
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}}\) .
A. \(M=2\sqrt 2\)
B. M=2
C. M=3
D. M=1
TXĐ: \(D = {\rm{[ - 2;2]}}\)
\({\rm{y' = 1 - }}\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {\rm{1 - }}\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {4 - {x^2}} \\ 4 - {x^2} > 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 4 - {x^2}\\ x \ge 0\\ - 2 < x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2\)
\(y( - 2) = - 2\)
\(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2\)
\(y(2) = 2\)
Vậy GTLN của hàm số là \(2\sqrt 2\)
\({\rm{y' = 1 - }}\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {\rm{1 - }}\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {4 - {x^2}} \\ 4 - {x^2} > 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 4 - {x^2}\\ x \ge 0\\ - 2 < x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2\)
\(y( - 2) = - 2\)
\(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2\)
\(y(2) = 2\)
Vậy GTLN của hàm số là \(2\sqrt 2\)
Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số: \(y = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\). Tính tổng M+m.
A. M+m=128
B. M+m=0
C. M+m=127
D. M+m=126
\(y = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\) ta có
\(y' = 8{x^3} - 8x,y' = 0 \leftrightarrow x = - 1;x = 0;x = 1\)
Vì hàm số liên tục và xác định trên đoạn nên ta có
\(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = - 1 \to m = - 1\)
\(\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 127 \to M = 127\)
Vậy \(M + m = 127 - 1 = 126\).
\(y' = 8{x^3} - 8x,y' = 0 \leftrightarrow x = - 1;x = 0;x = 1\)
Vì hàm số liên tục và xác định trên đoạn nên ta có
\(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = - 1 \to m = - 1\)
\(\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 127 \to M = 127\)
Vậy \(M + m = 127 - 1 = 126\).
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).
A. \(M = - 3\)
B. \(M = \frac{-1}{3}\)
C. \(M = 1\)
D. \(M = \frac{1}{5}\)
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\), TXĐ:\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Vậy hàm số liên tục và xác định trên [-2;2].
Ta có: \(y' = \frac{4}{{{{(x + 3)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 3\)
Nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số đồng biến trên [-2;2]
Suy ra: \(f(x) < f(2) = \frac{1}{5},\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;2] là \(\frac{1}{5}\).
Vậy hàm số liên tục và xác định trên [-2;2].
Ta có: \(y' = \frac{4}{{{{(x + 3)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 3\)
Nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số đồng biến trên [-2;2]
Suy ra: \(f(x) < f(2) = \frac{1}{5},\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;2] là \(\frac{1}{5}\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2]?
A. m<0
B. m=2
C. m>0
D. m=-2
Xét m=0 thì y=0 là hàm hằng, không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m \ne 0\), ta có:
\(\begin{array}{l} y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\\ y' = \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2] khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} y\left( 1 \right) > y\left( { - 2} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( { - 1} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( 2 \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{m}{2} > - \frac{{2m}}{5}\\ \frac{m}{2} > - \frac{m}{2}\\ \frac{m}{2} > \frac{{2m}}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Với \(m \ne 0\), ta có:
\(\begin{array}{l} y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\\ y' = \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2] khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} y\left( 1 \right) > y\left( { - 2} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( { - 1} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( 2 \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{m}{2} > - \frac{{2m}}{5}\\ \frac{m}{2} > - \frac{m}{2}\\ \frac{m}{2} > \frac{{2m}}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0?
A. m=0
B. m=6
C. m=4
D. m=2
Xét hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) trên [-1;1].
\(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vì \(x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow x = 0\)
\(\begin{array}{l} y( - 1) = - 2 + m\\ y(0) = m\\ y(1) = - 4 + m \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1;1] là \(y(0) = - 4 + m\)
Ta có: \(- 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = 4\).
\(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vì \(x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow x = 0\)
\(\begin{array}{l} y( - 1) = - 2 + m\\ y(0) = m\\ y(1) = - 4 + m \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1;1] là \(y(0) = - 4 + m\)
Ta có: \(- 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = 4\).
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2;4].
A. m=-2
B. m=6
C. m=-3
D. \(m = \frac{{19}}{3}\)
\(\begin{array}{l} y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\\ y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Ta có: \(y(2) = 7;\,y(3) = 6;\,y(4) = \frac{{19}}{3}\)
Suy ra: \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} y = Min\left\{ {y\left( 2 \right),y\left( 3 \right),y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 3 \right) = 6\)
Ta có: \(y(2) = 7;\,y(3) = 6;\,y(4) = \frac{{19}}{3}\)
Suy ra: \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} y = Min\left\{ {y\left( 2 \right),y\left( 3 \right),y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 3 \right) = 6\)
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = 2x + \sqrt {5 - {x^2}}\).
A. M=5
B. \(M = - 2\sqrt 5\)
C. M=6
D. \(M = - 2\sqrt 6\)
TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)
\(\begin{array}{l} y' = 2 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {5 - {x^2}} }}\\ y' = 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{x}{{\sqrt {5 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\sqrt {5 - {x^2}} \\ \sqrt {5 - {x^2}} \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x < \sqrt 5 \\ {x^2} = 4\left( {5 - {x^2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y( - \sqrt 5 ) = - 2\sqrt 5 ;\,\,\,\,y\left( 2 \right) = 5\\ y\left( {\sqrt 5 } \right) = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in D} y = 5 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} y' = 2 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {5 - {x^2}} }}\\ y' = 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{x}{{\sqrt {5 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\sqrt {5 - {x^2}} \\ \sqrt {5 - {x^2}} \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x < \sqrt 5 \\ {x^2} = 4\left( {5 - {x^2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y( - \sqrt 5 ) = - 2\sqrt 5 ;\,\,\,\,y\left( 2 \right) = 5\\ y\left( {\sqrt 5 } \right) = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in D} y = 5 \end{array}\)