Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1
Cho hàm số \(y = {x^3} + 5x + 7.\) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-5; 0] là:
A. 7
B. -143
C. 6
D. 8
\(y' = 3{x^2} + 5\\ y' = 0\,(VN)\)
y(-5) = -143
y(0) = 7
Vậy GTLN của hàm số là 7.
Câu 2
Cho hàm số có bảng biến thiên sau
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn.png

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1 và 1
D. Giá trị lớn nhất của hàm số là 1
Chọn A.
Câu 3
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin x - \frac{4}{3}{\sin ^3}x\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng:
A. \(-\frac{1}{3}\)
B. 1
C. \(\frac{1}{3}\)
D. -3
Đặt t=sinx
Do \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(t \in \left( { - 1;1} \right)\)
Xét hàm số: \(f(t) = t - \frac{4}{3}{t^3},t \in \left( { - 1;1} \right)\)
\(y' = 1 - 4{t^2}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy
\(\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} f(t) = - \frac{1}{3}\)
Câu 4
Cho biểu thức \(A = \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}},\) với \(x, y\neq 0\) Giá trị nhỏ nhất của A bằng:
A. 1
B. 0
C. -1
D. Không có giá trị nhỏ nhất
Đặt \(y=xt, t\neq 0\)
Khi đó:
\(A = \frac{{2xt.x}}{{{x^2} + {{(xt)}^2}}} = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\)
Xét hàm số:
\(f(t) = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) trên R
\(f'(t) = - \frac{{2({t^2} - 1)}}{{{{\left( {t{}^2 + 1} \right)}^2}}}\)
\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của A bằng.png

Vậy
\(min \ f(t)= -1\) tại \(t =- 1\neq 0\)
Vậy GTNN của A bằng -1.
Câu 5
Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = \frac{x^4}{4} - 2x^2+6\).
A. \(y_{CD} = 2\)
B. \(y_{CD} = 6\)
C. \(y_{CD} \in \{ 2;6\}\)
D. \(y_{CD}=0\)
Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\\ y ' = x^3 - 4x = x(x^2 - 4); \ y'(x) = 0 \\ \\ \Leftrightarrow x_{1}=0; \ x_{2} = 2; \ x_{3}= -2 \\ \\ y'' = 3x^2 - 4\)
\(\\ \\ y''(\pm 2) = 8 > 0\) nên x= -2 và x = 2 là hai điểm cực tiểu.
\(\\ \\ y''(0) = -4 < 0\) nên x = 0 là điểm cực đại.
⇒ Hàm số đạt cực đại tại \(x_{CD} = 0 ; \ y_{CD} = 6\)
Câu 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
A. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 21\)
B. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 14\)
C. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 11\)
D. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 70\)
\(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\)
Đây là một câu hỏi dễ lấy điểm. Để tìm được GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) ta giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\).
Ta lần lượt so sánh \(f\left( { - 4} \right),f\left( 4 \right),f\left( { - 1} \right),f\left( 3 \right)\) thì thấy \(f\left( { - 4} \right) = - 70\) là nhỏ nhất.
Vậy đáp án đúng là D.
Câu 7
Tìm GTNN của hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};5} \right]\).
A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - \frac{5}{2}\)
B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = \frac{1}{5}\)
C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - 3\)
D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - 2\)
\(y = x - 5 + \frac{1}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( 1 \right) = - 3;y\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{5}{2};y\left( 5 \right) = \frac{1}{5}\)
Vậy GTNN của hàm số bằng -3.
Câu 8
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{6 - 8x}}{{{x^2} + 1}}\).
A. \(M = - 2\)
B. \(M = \frac{2}{3}\)
C. \(M= 8\)
D. \(M= 10\)
Ta có:\(f'\left( x \right) = \frac{{8{x^2} - 12x - 8}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow 8{x^2} - 12x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 2\\ x = - \frac{1}{2} \Rightarrow f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 8 \end{array} \right.\)
Ta vẽ bảng biến thiên và thấy \(\min \,f(x) = - 2;max\,f(x) = 8\)
Câu 9
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\).
A. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 51;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = - 3\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 51;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 1\)
C. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 51;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = - 1\)
D. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 1;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 1\)
Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = \max \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 4 \right) = 51\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = \min \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 1 \right) = - 3\)
Câu 10:
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
A. 1
B. 2
C. 3
D. Đáp số khác.
Hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) xác định trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)
Ta có \(y' = \sqrt {1 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right.\). Ta lần lượt so sánh các giá trị
\(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = 0;y\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{ - 1}}{2};y\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1}{2}\)
Vậy \(M - m = \frac{1}{2} - \left ( - \frac{1}{2} \right ) = 1\)