Câu 1
Cho hàm số \(y = m{{\rm{x}}^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có 3 điểm cực trị.
A. 1<m<2
B. 0<m<1
C. -1<m<0
D. m>1
Câu 2
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3m{x^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) + m\). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2.\)
A. m=3
B. m=2
C. m=-1
D. m=3 hoặc m=-1
Câu 3
Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.
A. \(AB = 2\sqrt 2\)
B. \(AB = 4\sqrt 2\)
C. \(AB = \sqrt 2\)
D. \(AB = \frac{\sqrt 2}{2}\)
Câu 4
Hàm số \(y = {x^4} + 25{x^2} - 7\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1
Câu 5
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và \(x_0\in K\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Nếu \(f'(x_0)=0\) thì \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\)
B. Nếu \(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y=f(x)\)
C. Nếu \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) thì \(f(x_0)\ne0\)
D. Nếu \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) thì \(f'(x_0)=0\)
Câu 6
Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - x - 1.\)
A. \(d = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\)
B. \(d = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\)
C. \(d = \frac{{10\sqrt 2 }}{3}\)
D. \(d = \frac{{2\sqrt {10} }}{3}\)
Câu 7
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 1\) có đúng 1 điểm cực tiểu.
A. \(- 1 < m < 0\)
B. \(m < -1\)
C. \(m \in \left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
D. \(m>-1\)
Câu 8
Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right).\) Phát biển nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có một điểm cực đại
B. Hàm số có hai điểm cực trị
C. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị
D. Hàm số không có điểm cực trị
Câu 9
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x - m + 5\) có cực đại và cực tiểu.
A. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left[ { - \frac{1}{3};1} \right]\)
C. \(m \in \left( { - \frac{1}{3};1} \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Câu 10:
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 1\,\,\left( 1 \right).\) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị sao cho giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.
A. m=2
B. m=-1
C. m=-2
D. m=0
Cho hàm số \(y = m{{\rm{x}}^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có 3 điểm cực trị.
A. 1<m<2
B. 0<m<1
C. -1<m<0
D. m>1
\(y = m{{\rm{x}}^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\)
\(y' = 4m{{\rm{x}}^3} + 2\left( {m - 1} \right)x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \sqrt {\frac{{1 - m}}{{2m}}} \\ x = - \sqrt {\frac{{1 - m}}{{2m}}} \end{array} \right.\)
Để hàm số có 3 điểm cực tị thì phương trình y’=0 phải có 3 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\frac{{1 - m}}{{2m}} > 0 \Rightarrow m\left( {1 - m} \right) > 0\)\(\Rightarrow 0 < m < 1.\)
\(y' = 4m{{\rm{x}}^3} + 2\left( {m - 1} \right)x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \sqrt {\frac{{1 - m}}{{2m}}} \\ x = - \sqrt {\frac{{1 - m}}{{2m}}} \end{array} \right.\)
Để hàm số có 3 điểm cực tị thì phương trình y’=0 phải có 3 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\frac{{1 - m}}{{2m}} > 0 \Rightarrow m\left( {1 - m} \right) > 0\)\(\Rightarrow 0 < m < 1.\)
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3m{x^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) + m\). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2.\)
A. m=3
B. m=2
C. m=-1
D. m=3 hoặc m=-1
(y' = - {x^3} + 3m{x^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + m\)
\(y' = - 3{x^2} + 6mx - 3\left( {{m^2} - 1} \right)\)
\(y = - 6x + 6m\)
\(\left\{ \begin{array}{l} y'\left( 2 \right) = - 3{m^2} + 12m - 9 = 0 \Rightarrow m = 1;m = 3\\ y\left( 2 \right) = - 12 + 6m \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow m = 3\)
Thử lại m=3 thỏa yêu cầu bài toán.
\(y' = - 3{x^2} + 6mx - 3\left( {{m^2} - 1} \right)\)
\(y = - 6x + 6m\)
\(\left\{ \begin{array}{l} y'\left( 2 \right) = - 3{m^2} + 12m - 9 = 0 \Rightarrow m = 1;m = 3\\ y\left( 2 \right) = - 12 + 6m \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow m = 3\)
Thử lại m=3 thỏa yêu cầu bài toán.
Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.
A. \(AB = 2\sqrt 2\)
B. \(AB = 4\sqrt 2\)
C. \(AB = \sqrt 2\)
D. \(AB = \frac{\sqrt 2}{2}\)
\(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\)
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Vậy tọa độ các điểm cực trị là: \(A\left( {1, - 1} \right);B\left( { - 1,3} \right)\)
\(\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{(3 - 1)}^2}} = 2\sqrt 2\)
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Vậy tọa độ các điểm cực trị là: \(A\left( {1, - 1} \right);B\left( { - 1,3} \right)\)
\(\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{(3 - 1)}^2}} = 2\sqrt 2\)
Hàm số \(y = {x^4} + 25{x^2} - 7\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1
\(y = {x^4} + 25{x^2} - 7\)
\(y' = 4{x^3} + 50x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Phương trình \(f'(x)=0\) có duy nhất một nghiệm nên hàm số chỉ có một điểm cực trị.
\(y' = 4{x^3} + 50x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Phương trình \(f'(x)=0\) có duy nhất một nghiệm nên hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và \(x_0\in K\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Nếu \(f'(x_0)=0\) thì \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\)
B. Nếu \(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y=f(x)\)
C. Nếu \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) thì \(f(x_0)\ne0\)
D. Nếu \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) thì \(f'(x_0)=0\)
+ Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại \(x_0\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số
Điều ngược lại không đúng vì hàm số \(f(x)\) có thể đạt cực trị tại những điểm thuộc tập xác định của nó mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Suy ra A đúng và D sai.
+ Với phương án B, Nếu hàm số có đạo hàm tại \(x_0\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''(x_0)>0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\) nên B sai.
+ Với phương án C, ta kiểm tra với hàm số \(y=x^4\) đạt cực trị tại x=0, mà \(y''(0)=0\) nên C sai.
Điều ngược lại không đúng vì hàm số \(f(x)\) có thể đạt cực trị tại những điểm thuộc tập xác định của nó mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Suy ra A đúng và D sai.
+ Với phương án B, Nếu hàm số có đạo hàm tại \(x_0\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''(x_0)>0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\) nên B sai.
+ Với phương án C, ta kiểm tra với hàm số \(y=x^4\) đạt cực trị tại x=0, mà \(y''(0)=0\) nên C sai.
Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - x - 1.\)
A. \(d = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\)
B. \(d = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\)
C. \(d = \frac{{10\sqrt 2 }}{3}\)
D. \(d = \frac{{2\sqrt {10} }}{3}\)
\(y' = {x^2} - 2{\rm{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 1 + \sqrt 2 \\ {x_2} = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{3} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{3} \end{array}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 1\) có đúng 1 điểm cực tiểu.
A. \(- 1 < m < 0\)
B. \(m < -1\)
C. \(m \in \left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
D. \(m>-1\)
Với \(m=0\) thì hàm số đã cho trở thành \(y=x^2+1\) là hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có duy nhất một điểm cực tiểu. Nên \(m=0\) thỏa mãn.
Với \(m\ne0\) thì đây là hàm số bậc bốn trùng phương, ta đi tìm điều kiện để đồ thị hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu.
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = 4m{x^3} + 2(m + 1)x = 2x(2m{x^2} + (m + 1))\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} + m + 1 = 0\,(2) \end{array} \right. \end{array}\)
Trường hợp 1[/B] Đồ thị hàm số có duy nhất một điểm cực trị và đó là điểm cực tiểu khi:
Hệ số a của hàm số đã cho dương và phương trình \(y'=0\) có duy nhất một nghiệm.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = m > 0\\ {\Delta _{(2)}} = - \left( {m + 1} \right)m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0.\)
Trường hợp 2[/B] Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có 1 điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
Khi đó Hệ số a âm và \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = m < 0\\ - \left( {m + 1} \right)m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 > m > - 1.\)
Kết hợp các trường hợp ta có \(m>-1.\)
Với \(m\ne0\) thì đây là hàm số bậc bốn trùng phương, ta đi tìm điều kiện để đồ thị hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu.
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = 4m{x^3} + 2(m + 1)x = 2x(2m{x^2} + (m + 1))\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} + m + 1 = 0\,(2) \end{array} \right. \end{array}\)
Trường hợp 1[/B] Đồ thị hàm số có duy nhất một điểm cực trị và đó là điểm cực tiểu khi:
Hệ số a của hàm số đã cho dương và phương trình \(y'=0\) có duy nhất một nghiệm.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = m > 0\\ {\Delta _{(2)}} = - \left( {m + 1} \right)m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0.\)
Trường hợp 2[/B] Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có 1 điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
Khi đó Hệ số a âm và \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = m < 0\\ - \left( {m + 1} \right)m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 > m > - 1.\)
Kết hợp các trường hợp ta có \(m>-1.\)
Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right).\) Phát biển nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có một điểm cực đại
B. Hàm số có hai điểm cực trị
C. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị
D. Hàm số không có điểm cực trị
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right..\)
Ta thấy \(f'(x)\) không đổi dấu khi qua x=1 do đó x=1 không phải là điểm cực trị của hàm số.
\(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua x=3.
Vậy hàm số có đúng một điểm cực trị là x=3.
Ta thấy \(f'(x)\) không đổi dấu khi qua x=1 do đó x=1 không phải là điểm cực trị của hàm số.
\(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua x=3.
Vậy hàm số có đúng một điểm cực trị là x=3.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x - m + 5\) có cực đại và cực tiểu.
A. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left[ { - \frac{1}{3};1} \right]\)
C. \(m \in \left( { - \frac{1}{3};1} \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Chọn A
Ta có:
\(\\ y = {x^3} - 3m{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x - m + 5 \\ \\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx + 2m + 1,\Delta ' = 9{m^2} - 6m - 3\)
Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Điều này xảy ra khi:
\(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 6m - 3 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
Ta có:
\(\\ y = {x^3} - 3m{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x - m + 5 \\ \\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx + 2m + 1,\Delta ' = 9{m^2} - 6m - 3\)
Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Điều này xảy ra khi:
\(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 6m - 3 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 1\,\,\left( 1 \right).\) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị sao cho giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.
A. m=2
B. m=-1
C. m=-2
D. m=0
\(\\ y' = 4{x^3} - 4\left( {{m^2} + 1} \right)x \\ \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt {{m^2} + 1} \end{array} \right.\)
⇒ Hàm số (1) luôn có 3 điểm cực trị với mọi m.
\({x_{CT}} = \pm \sqrt {{m^2} + 1}\) ⇒ giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} + 1\)
Vì \({\left( {{m^2} + 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {y_{CT}} \le 0 \max \left( {{y_{CT}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0.\)
⇒ Hàm số (1) luôn có 3 điểm cực trị với mọi m.
\({x_{CT}} = \pm \sqrt {{m^2} + 1}\) ⇒ giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} + 1\)
Vì \({\left( {{m^2} + 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {y_{CT}} \le 0 \max \left( {{y_{CT}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0.\)