Câu 1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. \(m = 1\)
B. \(m = \sqrt[3]{3}\)
C. \(m = \frac{{\sqrt[3]{6}}}{2}\)
D. \(m = \frac{{\sqrt[3]{3}}}{2}\)
Câu 2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2} - 1\) đạt cực tiểu tại x=0.
A. \(m \ge 1\) hoặc \(m \leq - 1\)
B. \(m =-1\)
C. \(m <-1\)
D. \(m \leq - 1\)
Câu 3
Tìm điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} + 15x - 2.\)
A. x=2
B. x=0
C. x=5
D. x=-1
Câu 4
Tìm hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại \(y_{CD}\) và giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 12x.\)
A. \({y_{CT}} + {y_{CD}} = 0\)
B. \({y_{CD}} =2{y_{CT}}\)
C. \({y_{CD}} +2 {y_{CT}} = 0\)
D. \(2 {y_{CD}} = -{y_{CT}}\)
Câu 5
Cho hàm số y = x - \sin 2x + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. Hàm số có giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\)
C. Hàm số có giá trị cực đại\({y_{C{\rm{D}}}} = - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
D. Hàm số có giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\)
Câu 6
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} - {x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + 3\) có cực trị ?
A. \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\)
B. \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
C. \(m \in \left[ { - \frac{3}{2};0} \right]\)
D. \(m \in \left[ { - \frac{3}{2};0} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Câu 7
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x=-2
B. x=-1
C. x=1
D. x=2
Câu 8
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Cực tiểu của hàm số bằng -3.
B. Cực tiểu của hàm số bằng 1.
C. Cực tiểu của hàm số bằng -6.
D. Cực tiểu của hàm số bằng 2.
Câu 9
Biết \(M(0;2),{\rm{ N(2; - 2)}}\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^{\rm{2}}}{\rm{ + c}}x{\rm{ + }}d.\)
Tính giá trị của hàm số tại x=-2.
A. y(-2)=2
B. y(-2)=22
C. y(-2)=6
D. y(-2)=-18
Câu 10:
Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3.\) Tính diện tích S của tam giác ABC.
A. S=2
B. S=1
C. \(S=\sqrt2\)
D. \(S=2\sqrt2\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. \(m = 1\)
B. \(m = \sqrt[3]{3}\)
C. \(m = \frac{{\sqrt[3]{6}}}{2}\)
D. \(m = \frac{{\sqrt[3]{3}}}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m \end{array} \right. \end{array}\)
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m>0.
Gọi tọa độ ba điểm cực trị là:
\(A(0;2m + {m^4});\,B( - \sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m);\,C(\sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m)\)
Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương thì tam giác ABC cân tại A.
Vậy ABC là tam giác đều khi:
\(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{({m^2})}^2}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow {m^4} = 3m \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(Do\,m > 0) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m \end{array} \right. \end{array}\)
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m>0.
Gọi tọa độ ba điểm cực trị là:
\(A(0;2m + {m^4});\,B( - \sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m);\,C(\sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m)\)
Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương thì tam giác ABC cân tại A.
Vậy ABC là tam giác đều khi:
\(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{({m^2})}^2}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow {m^4} = 3m \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(Do\,m > 0) \end{array}\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2} - 1\) đạt cực tiểu tại x=0.
A. \(m \ge 1\) hoặc \(m \leq - 1\)
B. \(m =-1\)
C. \(m <-1\)
D. \(m \leq - 1\)
Hàm số bậc bốn trùng phương \(y = {x^4} + b{x^2} + c.\)
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} + 2bx = 2x(2{x^2} + b)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2{x^2} + b = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Do hệ số của \(x^4\) dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0 khi và chỉ khi phương trình y’=0 có duy nhất nghiệm x=0.
Điều này xảy ra khi \(b\geq 0\) hay \(- 2(m + 1) \ge 0 \Leftrightarrow m \le - 1.\)
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} + 2bx = 2x(2{x^2} + b)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2{x^2} + b = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Do hệ số của \(x^4\) dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0 khi và chỉ khi phương trình y’=0 có duy nhất nghiệm x=0.
Điều này xảy ra khi \(b\geq 0\) hay \(- 2(m + 1) \ge 0 \Leftrightarrow m \le - 1.\)
Tìm điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} + 15x - 2.\)
A. x=2
B. x=0
C. x=5
D. x=-1
\(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} + 12x + 15\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 5 \end{array} \right. \end{array}\)
Suy ra: Hàm số đạt cực đại tại x=5.
Suy ra: Hàm số đạt cực đại tại x=5.
Tìm hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại \(y_{CD}\) và giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 12x.\)
A. \({y_{CT}} + {y_{CD}} = 0\)
B. \({y_{CD}} =2{y_{CT}}\)
C. \({y_{CD}} +2 {y_{CT}} = 0\)
D. \(2 {y_{CD}} = -{y_{CT}}\)
Xét hàm số \(y = {x^3} - 12x,\) ta có: \(y' = 3{x^2} - 12\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = - 2} \end{array}} \right.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 16.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = -16.\)
Do đó \({y_{CT}} + {y_{CD}} = 0\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = - 2} \end{array}} \right.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 16.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = -16.\)
Do đó \({y_{CT}} + {y_{CD}} = 0\)
Cho hàm số y = x - \sin 2x + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. Hàm số có giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\)
C. Hàm số có giá trị cực đại\({y_{C{\rm{D}}}} = - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
D. Hàm số có giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 1 - 2\cos 2x,f''\left( x \right) = 4\sin 2x\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in\mathbb{Z} \\ f''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - 2\sqrt 3 < 0 \end{array}\)
Hàm số đạt cực đại tại \({x_{CD}} = - \frac{\pi }{6} + k\pi,k \in\mathbb{Z}\)
Giá trị cực đại \({y_{CD}} = f\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\(f''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \frac{\pi }{3} = 2\sqrt 3 > 0\) hàm số đạt cực tiểu tại \({x_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} + k\pi,k \in\mathbb{Z}\)
Giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = f\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 1 - 2\cos 2x,f''\left( x \right) = 4\sin 2x\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in\mathbb{Z} \\ f''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - 2\sqrt 3 < 0 \end{array}\)
Hàm số đạt cực đại tại \({x_{CD}} = - \frac{\pi }{6} + k\pi,k \in\mathbb{Z}\)
Giá trị cực đại \({y_{CD}} = f\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\(f''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \frac{\pi }{3} = 2\sqrt 3 > 0\) hàm số đạt cực tiểu tại \({x_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} + k\pi,k \in\mathbb{Z}\)
Giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = f\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} - {x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + 3\) có cực trị ?
A. \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\)
B. \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
C. \(m \in \left[ { - \frac{3}{2};0} \right]\)
D. \(m \in \left[ { - \frac{3}{2};0} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
TH1[/B] \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\), hàm số đã cho là hàm bậc 2 luôn có cực trị.
TH2[/B] \(m + 1 \ne 0,y' = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2x + 2m + 1,y' > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Vậy: \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\).
TH2[/B] \(m + 1 \ne 0,y' = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2x + 2m + 1,y' > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Vậy: \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\).
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x=-2
B. x=-1
C. x=1
D. x=2
Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x=-1,\) đạt cực tiểu tại \(x=1.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Cực tiểu của hàm số bằng -3.
B. Cực tiểu của hàm số bằng 1.
C. Cực tiểu của hàm số bằng -6.
D. Cực tiểu của hàm số bằng 2.
TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\)
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Từ bảng biến thiên suy ra x=1 là điểm cực tiểu của hàm số.
Giá trị cực tiểu \(y(1)=2.\)
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Từ bảng biến thiên suy ra x=1 là điểm cực tiểu của hàm số.
Giá trị cực tiểu \(y(1)=2.\)
Biết \(M(0;2),{\rm{ N(2; - 2)}}\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^{\rm{2}}}{\rm{ + c}}x{\rm{ + }}d.\)
Tính giá trị của hàm số tại x=-2.
A. y(-2)=2
B. y(-2)=22
C. y(-2)=6
D. y(-2)=-18
\(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)
Do \(M(0;2)\) và \(N(2;-2)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên \(y'(0)=0\) và \(y'(2)=0\) hay \(c=0\) và \(12a+4b=0\).
M, N thuộc đồ thị hàm số nên: \(y(0)=2\) và \(y(2)=-2\) hay \(d=2\) và:
\(8a + 4b + 2c + d = - 2 \Rightarrow 8a + 4b = - 4\)
Từ đó suy ra \(a=1\) và \(b = - 3 \Rightarrow y\left( { - 2} \right) = - 18\)
Do \(M(0;2)\) và \(N(2;-2)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên \(y'(0)=0\) và \(y'(2)=0\) hay \(c=0\) và \(12a+4b=0\).
M, N thuộc đồ thị hàm số nên: \(y(0)=2\) và \(y(2)=-2\) hay \(d=2\) và:
\(8a + 4b + 2c + d = - 2 \Rightarrow 8a + 4b = - 4\)
Từ đó suy ra \(a=1\) và \(b = - 3 \Rightarrow y\left( { - 2} \right) = - 18\)
Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3.\) Tính diện tích S của tam giác ABC.
A. S=2
B. S=1
C. \(S=\sqrt2\)
D. \(S=2\sqrt2\)
\(y' = 4{x^3} - 4x\)
\(\Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = - 1;x = 1\)
\(\Rightarrow A\left( {0;3} \right);B\left( {1,2} \right);C\left( { - 1,2} \right)\)
Ta có: \(AB = AC = \sqrt 2 ;BC = 2\)
Từ đó nhận thấy tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là trung điểm của BC.
\(\Rightarrow AH \bot BC,\,\,H\left( {0;2} \right) \Rightarrow AH = 1\)
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.1.2 = 1\)
\(\Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = - 1;x = 1\)
\(\Rightarrow A\left( {0;3} \right);B\left( {1,2} \right);C\left( { - 1,2} \right)\)
Ta có: \(AB = AC = \sqrt 2 ;BC = 2\)
Từ đó nhận thấy tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là trung điểm của BC.
\(\Rightarrow AH \bot BC,\,\,H\left( {0;2} \right) \Rightarrow AH = 1\)
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.1.2 = 1\)
Đính kèm
-
Cực tiểu của hàm số.png