Câu 1
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\). Khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là:
A. \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
B. \(2\sqrt 5 \)
C. 2
D. \(\sqrt 5 \)
Câu 2
Cho bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số giá trị cực đại bằng 3
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1
D. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1
Câu 3
Cho hàm số \(y = (x - 5)\sqrt[3]{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2
D. Hàm số không có cực đại
Câu 4
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + m có hai cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành.
A. 0 < m < 2
B. m < 0
C. m > 2
D. 0 < m < 4
Câu 5
Cho đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) đạt cực đại tại A(0;3) và cực tiểu B(-1;-5). Tính giá trị của P = a + 2b + 3c.
A. P=-5
B. P=-9
C. P=-15
D. P=3
Câu 6
Cho hàm số \(y = 2{x^4} + 4{x^2} - 3\) và các khẳng định sau:
(I): Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 3\).
(II): Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 3\).
(III): Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 3\).
Các khẳng định đúng là?
A. Chỉ I
B. Chỉ II
C. Chỉ III
D. Cả I, II, III
Câu 7
Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1\) có bao nhiêu điểm cực trị.
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
Câu 8
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\). Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng:
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
Câu 9
Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + {m^4} - 3{m^2} + 2017\)có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32?
A. m=2
B. m=3
C. m=4
D. m=5
Câu 10:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5 có duy nhất một điểm cực trị.
A. \(m = 0\)
B. \(m \le - 3\)
C. \(m <3\)
D. \(m >-3\)
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\). Khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là:
A. \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
B. \(2\sqrt 5 \)
C. 2
D. \(\sqrt 5 \)
Ta có \(y' = \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) = 3{x^2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)
Gọi A, B là 2 cực trị của đồ thị hàm số, suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {0;0} \right)}\\{B\left( {2; - 4} \right)}\end{array} \Rightarrow AB = 2\sqrt 5 } \right..\)
Gọi A, B là 2 cực trị của đồ thị hàm số, suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {0;0} \right)}\\{B\left( {2; - 4} \right)}\end{array} \Rightarrow AB = 2\sqrt 5 } \right..\)
Cho bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số giá trị cực đại bằng 3
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1
D. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy
Hàm số đạt cực đại tại x=1 và giá trị cực đại bằng 2.
Vậy B là phương án cần tìm.
Hàm số đạt cực đại tại x=1 và giá trị cực đại bằng 2.
Vậy B là phương án cần tìm.
Cho hàm số \(y = (x - 5)\sqrt[3]{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2
D. Hàm số không có cực đại
\(y = (x - 5)\sqrt[3]{{{x^2}}}\)
\(y' = \sqrt[3]{{{x^2}}} + (x - 5).\frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}} = \frac{{5(x - 2)}}{{3\sqrt[3]{x}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0, đạt cực tiểu tại x=2.
\(y' = \sqrt[3]{{{x^2}}} + (x - 5).\frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}} = \frac{{5(x - 2)}}{{3\sqrt[3]{x}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0, đạt cực tiểu tại x=2.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + m có hai cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành.
A. 0 < m < 2
B. m < 0
C. m > 2
D. 0 < m < 4
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu tại hai điểm \({M_1}\left( {0;m} \right),\,{M_2}\left( {2;m - 4} \right)\).
Để đồ thị hàm số hai điểm cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành thì giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số phải trái dấu nhau hay: \(m.(m - 4) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\).
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu tại hai điểm \({M_1}\left( {0;m} \right),\,{M_2}\left( {2;m - 4} \right)\).
Để đồ thị hàm số hai điểm cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành thì giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số phải trái dấu nhau hay: \(m.(m - 4) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\).
Cho đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) đạt cực đại tại A(0;3) và cực tiểu B(-1;-5). Tính giá trị của P = a + 2b + 3c.
A. P=-5
B. P=-9
C. P=-15
D. P=3
\(y' = 4a{x^3} + 2bx\)
Hàm số đạt cực đại tại A(0;-3) ta có: y’(0)=0; y (0)=-3 suy ra c=-3.
Hàm số đạt cực tiểu tại B(-1;-5) ta có: y’(-1) = 0; y (-1)=-5
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a - 2b = 0\\ a + b - 3 = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 4 \end{array} \right.\)
Thay vào P ta có: P=2-8-9 =-15.
Hàm số đạt cực đại tại A(0;-3) ta có: y’(0)=0; y (0)=-3 suy ra c=-3.
Hàm số đạt cực tiểu tại B(-1;-5) ta có: y’(-1) = 0; y (-1)=-5
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a - 2b = 0\\ a + b - 3 = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 4 \end{array} \right.\)
Thay vào P ta có: P=2-8-9 =-15.
Cho hàm số \(y = 2{x^4} + 4{x^2} - 3\) và các khẳng định sau:
(I): Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 3\).
(II): Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 3\).
(III): Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 3\).
Các khẳng định đúng là?
A. Chỉ I
B. Chỉ II
C. Chỉ III
D. Cả I, II, III
\(y = 2{x^4} + 4{x^2} - 3\)
\(\begin{array}{l} y' = 8{x^3} + 8x\\ y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}\)
Phương trình \(y' = 0\) có nghiệm duy nhất và hệ số của \(x^4\) dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0.
Giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 3\).
\(\begin{array}{l} y' = 8{x^3} + 8x\\ y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}\)
Phương trình \(y' = 0\) có nghiệm duy nhất và hệ số của \(x^4\) dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0.
Giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 3\).
Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1\) có bao nhiêu điểm cực trị.
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1\)
\(y' = {\rm{ }} - 3{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }} - 3\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy hàm số không có cực trị.
Lưu ý: Hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 có 2 nghiệm phân biệt.
\(y' = {\rm{ }} - 3{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }} - 3\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy hàm số không có cực trị.
Lưu ý: Hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\). Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng:
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm 1}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(y'' = 12{x^2} - 4 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 4 < 0;y''\left( { \pm 1} \right) = 8 > 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) là hai điểm cực tiểu.
Tọa độ các điểm cực tiểu là \(A\left( {1;0} \right),B\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = 2.\)
Khi đó \(y'' = 12{x^2} - 4 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 4 < 0;y''\left( { \pm 1} \right) = 8 > 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) là hai điểm cực tiểu.
Tọa độ các điểm cực tiểu là \(A\left( {1;0} \right),B\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = 2.\)
Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + {m^4} - 3{m^2} + 2017\)có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32?
A. m=2
B. m=3
C. m=4
D. m=5
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4\left( {m - 1} \right)x = 4x\left( {{x^2} - m + 1} \right);\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m - 1\end{array} \right.\)
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’=0 có ba nghiệm phân biệt hay \(m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\left( * \right)\)
Kho đó tọa độ các điểm cực trị là:
\(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;{m^4} - 3{m^2} + 2017} \right)\\B\left( {\sqrt {m - 1} ;{m^4} - 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\\C\left( { - \sqrt {m - 1} ;{m^4} - 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = AC = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^4} + \left( {m - 1} \right)} \\BC = 2\sqrt {m - 1} \end{array} \right.\)
Suy ra tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC thì H là trung điểm BC nên \(H(0;{m^4} - 4{m^2} + 2m + 2016)\)
Ta có: \(AH = \sqrt {{{( - {m^2} + 2m - 1)}^2}} = {(m - 1)^2}\)
Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = {\left( {m - 1} \right)^2}\sqrt {\left( {m - 1} \right)} = 32 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^5} = 1024 \Leftrightarrow m - 1 = 4 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*)).
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’=0 có ba nghiệm phân biệt hay \(m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\left( * \right)\)
Kho đó tọa độ các điểm cực trị là:
\(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;{m^4} - 3{m^2} + 2017} \right)\\B\left( {\sqrt {m - 1} ;{m^4} - 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\\C\left( { - \sqrt {m - 1} ;{m^4} - 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = AC = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^4} + \left( {m - 1} \right)} \\BC = 2\sqrt {m - 1} \end{array} \right.\)
Suy ra tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC thì H là trung điểm BC nên \(H(0;{m^4} - 4{m^2} + 2m + 2016)\)
Ta có: \(AH = \sqrt {{{( - {m^2} + 2m - 1)}^2}} = {(m - 1)^2}\)
Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = {\left( {m - 1} \right)^2}\sqrt {\left( {m - 1} \right)} = 32 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^5} = 1024 \Leftrightarrow m - 1 = 4 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*)).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5 có duy nhất một điểm cực trị.
A. \(m = 0\)
B. \(m \le - 3\)
C. \(m <3\)
D. \(m >-3\)
\(\begin{array}{l} y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\\ y' = - 8{x^3} + 2(m + 3)x = 2x( - 4{x^2} + m + 3)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ - 4{x^2} + m + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ m + 3 = 4{x^2} (*)\end{array} \right. \end{array}\)
Hàm số có đúng một cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0.
Điều này xảy ra khi: \(m + 3 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 3.\)
Hàm số có đúng một cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0.
Điều này xảy ra khi: \(m + 3 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 3.\)