Câu 1
Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 2\).
A. \({y_{CD}} = 0\)
B. \({y_{CD}} = 4\)
C. \({y_{CD}} = -1\)
D. \({y_{CD}} = 1\)
Câu 2
Tìm giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 - x}}\) bằng 10.
A. m=2
B. m=1
C. m=3
D. m=4
Câu 3
Tìm các điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\).
A. x=-1
B. x=0
C. x=5
D. x=1;x=2
Câu 4
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + {m^2}x + 5\) có 2 điểm cực trị.
A. \(2 \le m \le 3\)
B. \(m<\frac{1}{2}\)
C. \(m>\frac{1}{3}\)
D. \(m=1\)
Câu 5
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = {x^4} + 2m{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. \(m = 1\)
B. \(m = -1\)
C. \(m = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\)
D. \(m =- \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\)
Câu 6
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d là các hằng số).
(I): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của nó.
(II): Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) luôn có ít nhất một cực trị
(III): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định.
(IV): Hàm số y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0,ad - bc \ne 0} \right) không có cực trị.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
Câu 7
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
A. m=3
B. m=0
C. m>0
D. \(m = \sqrt[3]{3}\)
Câu 8
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - 2mx + 1}}\) không có tiệm cận đứng.
A. m=1
B. m=-1
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( -1;1)\)
Câu 9
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + x - 1\) có cực đại và cực tiểu.
A. \(m > 1\)
B. \(m \ne - 2\)
C. \(m \ne 0\)
D. \(\forall m \in \mathbb{R}\)
Câu 10:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-3m{x^2} + 3\left( {{m^2}-{\rm{ }}1} \right)x-3{m^2}{\rm{ + }}5\) đạt cực đại tại x = 1.
A. m=0 hoặc m=2
B. m=2
C. m=1
D. m=0
Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 2\).
A. \({y_{CD}} = 0\)
B. \({y_{CD}} = 4\)
C. \({y_{CD}} = -1\)
D. \({y_{CD}} = 1\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại là \(y_{CD}=y(-1)=0\).
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại là \(y_{CD}=y(-1)=0\).
Tìm giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 - x}}\) bằng 10.
A. m=2
B. m=1
C. m=3
D. m=4
Các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) sẽ nằm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}\).
\(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 - x}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x + m}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} - 2x - m = 0\,\,(*) \end{array} \right.\)
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 hay:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = 1 + m > 0\\ {1^2} - 2.1 - m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(y = \frac{{\left( {{x^2} + mx} \right)'}}{{(1 - x)'}} = \frac{{2x + m}}{{ - 1}} = - 2x - m\)
Gọi \(A\left( {{x_1}; - 2{x_1} - m} \right);\,B\left( {{x_2}; - 2{x_2} - m} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = - m \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} AB = 10 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {2{x_1} - 2{x_2}} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20 \Rightarrow {2^2} - 4( - m) = 20 \Leftrightarrow m = 4 \end{array}\)
\(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 - x}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x + m}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} - 2x - m = 0\,\,(*) \end{array} \right.\)
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 hay:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = 1 + m > 0\\ {1^2} - 2.1 - m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(y = \frac{{\left( {{x^2} + mx} \right)'}}{{(1 - x)'}} = \frac{{2x + m}}{{ - 1}} = - 2x - m\)
Gọi \(A\left( {{x_1}; - 2{x_1} - m} \right);\,B\left( {{x_2}; - 2{x_2} - m} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = - m \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} AB = 10 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {2{x_1} - 2{x_2}} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20 \Rightarrow {2^2} - 4( - m) = 20 \Leftrightarrow m = 4 \end{array}\)
Tìm các điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\).
A. x=-1
B. x=0
C. x=5
D. x=1;x=2
\(\begin{array}{l} y = {x^4} + 3{x^2} + 2\\ y' = 4{x^3} + 6x \end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vì phương trình \(y' = 0\) có 1 nghiệm và hệ số của \(x^4\) dương nên x=0 là điểm cực tiểu.
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vì phương trình \(y' = 0\) có 1 nghiệm và hệ số của \(x^4\) dương nên x=0 là điểm cực tiểu.
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + {m^2}x + 5\) có 2 điểm cực trị.
A. \(2 \le m \le 3\)
B. \(m<\frac{1}{2}\)
C. \(m>\frac{1}{3}\)
D. \(m=1\)
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có:\(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2}\)
\(\Delta ' = - 2m + 1\)
Phương trình y' = 2 có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)
Ta có:\(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2}\)
\(\Delta ' = - 2m + 1\)
Phương trình y' = 2 có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = {x^4} + 2m{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. \(m = 1\)
B. \(m = -1\)
C. \(m = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\)
D. \(m =- \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\)
\(y' = 4{x^3} + 4mx = 4x\left( {{x^2} + m} \right)\)
Đề phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} = - m\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay m<0 nên ta loại ngay A,C.
Đến đây ta có thể thử từng giá trị của 2 đáp án còn lại.
m = -1 thỏa yêu cầu bài toán.
Giải chi tiết như sau:
Với m<0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị có tọa độ:
\(A(0;1);\,B( - \sqrt { - m} ;1 - m);\,C\left( {\sqrt { - m} ;1 - m} \right)\)
Đường thẳng BC song song với trục hoành nên: \(BC = \left| {{x_B} - {x_C}} \right| = 2\sqrt { - m}\)
Gọi I là trung điểm của BC \(\Rightarrow I\left( {0;1 - m} \right)\)
AI song song với trục Oy nên: \(AI = \left| {{y_A} - {y_I}} \right| = - m\)
Tam giác ABC vuông khi \(AI = \frac{1}{2}BC \Rightarrow - m = \sqrt { - m} \Leftrightarrow m = - 1\) (do m<0)
Đề phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} = - m\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay m<0 nên ta loại ngay A,C.
Đến đây ta có thể thử từng giá trị của 2 đáp án còn lại.
m = -1 thỏa yêu cầu bài toán.
Giải chi tiết như sau:
Với m<0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị có tọa độ:
\(A(0;1);\,B( - \sqrt { - m} ;1 - m);\,C\left( {\sqrt { - m} ;1 - m} \right)\)
Đường thẳng BC song song với trục hoành nên: \(BC = \left| {{x_B} - {x_C}} \right| = 2\sqrt { - m}\)
Gọi I là trung điểm của BC \(\Rightarrow I\left( {0;1 - m} \right)\)
AI song song với trục Oy nên: \(AI = \left| {{y_A} - {y_I}} \right| = - m\)
Tam giác ABC vuông khi \(AI = \frac{1}{2}BC \Rightarrow - m = \sqrt { - m} \Leftrightarrow m = - 1\) (do m<0)
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d là các hằng số).
(I): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của nó.
(II): Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) luôn có ít nhất một cực trị
(III): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định.
(IV): Hàm số y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0,ad - bc \ne 0} \right) không có cực trị.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
(I), (III) là sai: Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) có thể nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng giá trị cực tiểu của nó vì tính “cực đại” hay “cực tiểu” là chỉ xét trên một “lân cận” (khoảng (x0 – h;x0 + h)) của x0, không xét trên toàn bộ tập xác định. Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) có thể lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn một giá trị nào đó của hàm số trên tập xác định.
(II) đúng: Hàm số bậc 4 trùng phương luôn có ít nhất một cực trị tại điểm x=0.
(IV) đúng: Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) không có cực trị vì đạo hàm \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) luôn âm hoặc luôn dương trên tập xác định.
(II) đúng: Hàm số bậc 4 trùng phương luôn có ít nhất một cực trị tại điểm x=0.
(IV) đúng: Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) không có cực trị vì đạo hàm \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) luôn âm hoặc luôn dương trên tập xác định.
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
A. m=3
B. m=0
C. m>0
D. \(m = \sqrt[3]{3}\)
Xét hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\)
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi m>0, ta có 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số:
\(A(0;m - 1),\,B( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,C( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1)\)
Ta có tam giác ABC cân tại A.
Vậy ABC đều khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {m^4}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow m({m^3} - 3) = 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(m > 0) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi m>0, ta có 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số:
\(A(0;m - 1),\,B( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,C( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1)\)
Ta có tam giác ABC cân tại A.
Vậy ABC đều khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {m^4}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow m({m^3} - 3) = 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(m > 0) \end{array}\)
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - 2mx + 1}}\) không có tiệm cận đứng.
A. m=1
B. m=-1
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( -1;1)\)
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi thỏa 1 trong 2 trường hợp sau:
+ TH1[/B] Không tồn tại \(x_0\) để \(g(x_0)=0\).
+ TH2[/B] \(\forall {x_0}\) để \(g(x_0)=0\) thì \(f(x_0)=0\).
Xét tử thức: \(f(x) = 5x - 3\) có nghiệm \(x=\frac{3}{5}\).
Xét mẫu thức: \(g(x) = {x^2} - 2mx + 1\).
Khồng tại m để g(x) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{3}{5}\) nên hàm số đã cho không có tiệm cận đứng khi phương trình \(g(x)=0\) vô nghiệm.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.\)
+ TH1[/B] Không tồn tại \(x_0\) để \(g(x_0)=0\).
+ TH2[/B] \(\forall {x_0}\) để \(g(x_0)=0\) thì \(f(x_0)=0\).
Xét tử thức: \(f(x) = 5x - 3\) có nghiệm \(x=\frac{3}{5}\).
Xét mẫu thức: \(g(x) = {x^2} - 2mx + 1\).
Khồng tại m để g(x) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{3}{5}\) nên hàm số đã cho không có tiệm cận đứng khi phương trình \(g(x)=0\) vô nghiệm.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + x - 1\) có cực đại và cực tiểu.
A. \(m > 1\)
B. \(m \ne - 2\)
C. \(m \ne 0\)
D. \(\forall m \in \mathbb{R}\)
Với \(m = 0 \Rightarrow y = 2{x^2} + x - 1 \Rightarrow \) hàm số có duy nhất một cực trị
Với \(m \ne 0\), xét hàm số \(y = m{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + x - 1\), ta có \(y' = 3m{x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 1;\forall x \in \mathbb{R}\)
Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
Hay \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 3m > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 3m > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m + 4 > 0;\forall m \ne 0 \Rightarrow \) hàm số luôn có hai điểm cực trị.
Vậy \(m \ne 0\) là giá trị cần tìm.
Với \(m \ne 0\), xét hàm số \(y = m{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + x - 1\), ta có \(y' = 3m{x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 1;\forall x \in \mathbb{R}\)
Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
Hay \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 3m > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 3m > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m + 4 > 0;\forall m \ne 0 \Rightarrow \) hàm số luôn có hai điểm cực trị.
Vậy \(m \ne 0\) là giá trị cần tìm.
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-3m{x^2} + 3\left( {{m^2}-{\rm{ }}1} \right)x-3{m^2}{\rm{ + }}5\) đạt cực đại tại x = 1.
A. m=0 hoặc m=2
B. m=2
C. m=1
D. m=0
\(\begin{array}{l} y = {x^3} - 3m{x^2} + 3({m^2} - 1)x - 3{m^2} + 5\\ y' = 3{x^2} - 6mx + 3({m^2} - 1)\\ y'' = 6x - 6m \end{array}\)
\(y'(1) = 0 \Rightarrow 3 - 6m + 3({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\)
Với m=0, \(y''(1) = 6 > 0\) (loại)
Với m=2, \(y''(1) = - 6 < 0\).
Đến đây ta cần thử lại xem với m=2 hàm số có đạt cực đại tại x=1 hay không mới có thể kết luận. Tuy nhiên đây là bài toán trắc nghiệm, không có phương án không tồn tại giá trị m nên ta có thể chọn ngay phương án B.
\(y'(1) = 0 \Rightarrow 3 - 6m + 3({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\)
Với m=0, \(y''(1) = 6 > 0\) (loại)
Với m=2, \(y''(1) = - 6 < 0\).
Đến đây ta cần thử lại xem với m=2 hàm số có đạt cực đại tại x=1 hay không mới có thể kết luận. Tuy nhiên đây là bài toán trắc nghiệm, không có phương án không tồn tại giá trị m nên ta có thể chọn ngay phương án B.