Câu 1
Cho hàm số \(y = m{x^4} - (m - 1){x^2} - 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
A. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
C. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(m \in ( - \infty ;0) \cup (1; + \infty )\)
Câu 2
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, chọn câu khẳng định ĐÚNG ?
A. Hàm số có 2 cực trị
B. Hàm số có 1 cực trị
C. Hàm số không có cực trị
D. Hàm số không xác định tại x=3
Câu 3
Hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}a{x^2} + bx + \frac{1}{3}\) đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2. Tính tổng a+b khi đó?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 4
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\). Với giá trị nào của m thì đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
A. \(m = \sqrt[5]{{16}}\)
B. \(m = 16\)
C. \(m = \sqrt[3]{{16}}\)
D. \(m = - \sqrt[3]{{16}}\)
Câu 5
Cho hàm số \(y = x - {e^x}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0
B. Hàm số đạt cực đại tại x=0
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
D. Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Câu 6
Tìm tọa độ diểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) .
A. -1
B. (1;-3)
C. -7
D. (-1;-7)
Câu 7
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\) có ba điểm cực trị.
A. \(1 < m < 2\)
B. \(- 1 < m < 0\)
C. \(m > 1\)
D. \(0 < m < 1\)
Câu 8
Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a > 0;b > 0} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Câu 9
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. \(y = {x^3} - 3x\)
B. \(y = {x^3} - 3x^2\)
C. \(y = {x^4} - 2{x^2}\)
D. \(y = 3{x^3}\)
Câu 10:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m{x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x - 3 đạt cực tiểu tại x=1.
A. \(m = 0\)
B. \(m = -1\)
C. \(m = -2\)
D. \(m = \frac{3}{2}\)
Cho hàm số \(y = m{x^4} - (m - 1){x^2} - 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
A. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
C. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(m \in ( - \infty ;0) \cup (1; + \infty )\)
Xét hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c \left ( a\ne0 \right )\)
\(y' = 4a{x^3} + 2bx\)
\(y'= 0 \Leftrightarrow 2x(2a{x^2} + b) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{b}{{2a}}(*) \end{array} \right.\)
Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt.
Để phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, điều này xảy ra khi \(\frac{b}{{2a}} < 0\).
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{m} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
\(y' = 4a{x^3} + 2bx\)
\(y'= 0 \Leftrightarrow 2x(2a{x^2} + b) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{b}{{2a}}(*) \end{array} \right.\)
Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt.
Để phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, điều này xảy ra khi \(\frac{b}{{2a}} < 0\).
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{m} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, chọn câu khẳng định ĐÚNG ?
A. Hàm số có 2 cực trị
B. Hàm số có 1 cực trị
C. Hàm số không có cực trị
D. Hàm số không xác định tại x=3
Dựa vào BBT ta thấy hàm số xác định tại x = 3 và y’đổi dấu khi đi qua x = 3 suy ra hàm số có đạt cực trị tại x=3.
Vậy hàm số có 1 cực trị.
Vậy hàm số có 1 cực trị.
Hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}a{x^2} + bx + \frac{1}{3}\) đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2. Tính tổng a+b khi đó?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} {y^/} = - {x^2} + ax + b\\ {y^{//}} = - 2x + a \end{array}\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {y^/}(1) = 0\\ {y^{//}}(1) < 0\\ y(1) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + a + b = 0\\ - 2 + a < 0\\ \frac{1}{2}a + b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3\\ a < 2 \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3 \end{array} \right.\)
Kiểm tra lại ta thấy giá trị a và b tìm được hoàn toàn thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy a+b=1.
\(\begin{array}{l} {y^/} = - {x^2} + ax + b\\ {y^{//}} = - 2x + a \end{array}\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {y^/}(1) = 0\\ {y^{//}}(1) < 0\\ y(1) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + a + b = 0\\ - 2 + a < 0\\ \frac{1}{2}a + b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3\\ a < 2 \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3 \end{array} \right.\)
Kiểm tra lại ta thấy giá trị a và b tìm được hoàn toàn thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy a+b=1.
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\). Với giá trị nào của m thì đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
A. \(m = \sqrt[5]{{16}}\)
B. \(m = 16\)
C. \(m = \sqrt[3]{{16}}\)
D. \(m = - \sqrt[3]{{16}}\)
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx\\ y' = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} - m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\) phải có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi đó đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị \(A\left( {0;2m + {m^4}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right);C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\) với B và C đối xứng nhau qua Oy, hay đường thẳng BC song song hoặc trùng với trục hoành (y=0).
Suy ra: phương trình đường thẳng BC có dạng: y+a=0
Ta có: \({y_B} = {y_C} = f\left( {\sqrt m } \right) = f\left( { - \sqrt m } \right)\)
\(= {m^2} - 2{m^2} + 2m + {m^4} = {m^4} - {m^2} + 2m\)
Suy ra phương trình BC là: \(y - ({m^4} + {m^2} + 2m) = 0\)
Khi đó:
\(d\left( {A;BC} \right) = \left| {2m + {m^4} - \left( {{m^4} + 2m - {m^2}} \right)} \right| = \left| {{m^2}} \right| = {m^2}\)
Như vậy rõ ràng
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d\left( {A;BC} \right).BC\)
\(= \frac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m = 4 \Rightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\)
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\) phải có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi đó đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị \(A\left( {0;2m + {m^4}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right);C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\) với B và C đối xứng nhau qua Oy, hay đường thẳng BC song song hoặc trùng với trục hoành (y=0).
Suy ra: phương trình đường thẳng BC có dạng: y+a=0
Ta có: \({y_B} = {y_C} = f\left( {\sqrt m } \right) = f\left( { - \sqrt m } \right)\)
\(= {m^2} - 2{m^2} + 2m + {m^4} = {m^4} - {m^2} + 2m\)
Suy ra phương trình BC là: \(y - ({m^4} + {m^2} + 2m) = 0\)
Khi đó:
\(d\left( {A;BC} \right) = \left| {2m + {m^4} - \left( {{m^4} + 2m - {m^2}} \right)} \right| = \left| {{m^2}} \right| = {m^2}\)
Như vậy rõ ràng
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d\left( {A;BC} \right).BC\)
\(= \frac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m = 4 \Rightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\)
Cho hàm số \(y = x - {e^x}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0
B. Hàm số đạt cực đại tại x=0
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
D. Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = x - {e^x}\) có \(y' = 1 - {e^x},y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có:
Ta thấy y' đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua điểm 0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại x=0 nên B đúng.
C và D sai vì:
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Hàm số có tập xác định là D=R
Ta có:
Ta thấy y' đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua điểm 0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại x=0 nên B đúng.
C và D sai vì:
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Hàm số có tập xác định là D=R
Tìm tọa độ diểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) .
A. -1
B. (1;-3)
C. -7
D. (-1;-7)
TXĐ: D=R\{0}
Hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) có đạo hàm \(y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
đổi dấu từ (+) sang (-) tại x=1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: (1; -3)
Hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) có đạo hàm \(y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
đổi dấu từ (+) sang (-) tại x=1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: (1; -3)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\) có ba điểm cực trị.
A. \(1 < m < 2\)
B. \(- 1 < m < 0\)
C. \(m > 1\)
D. \(0 < m < 1\)
Ta có \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\)
\(y' = 4m{x^3} + 2\left( {m - 1} \right)x\)
\(y' = 0 \leftrightarrow x\left( {4m{x^2} + 2m - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 4m{x^2} + 2m - 2 = 0\,\left( I \right) \end{array} \right.\)
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi (I) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
\(\left\{ \begin{array}{l} 4m{.0^2} + 2m - 2 \ne 0\\ m \ne 0\\ \frac{{2 - 2m}}{m} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ m \ne 0\\ 0 < m < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 1\)
\(y' = 4m{x^3} + 2\left( {m - 1} \right)x\)
\(y' = 0 \leftrightarrow x\left( {4m{x^2} + 2m - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 4m{x^2} + 2m - 2 = 0\,\left( I \right) \end{array} \right.\)
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi (I) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
\(\left\{ \begin{array}{l} 4m{.0^2} + 2m - 2 \ne 0\\ m \ne 0\\ \frac{{2 - 2m}}{m} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ m \ne 0\\ 0 < m < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 1\)
Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a > 0;b > 0} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Ta có:
\(y' = 4a{x^3} + 2bx\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0\)
Do \(a > 0;b > 0\) nên phương trình \(y'=0\) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Do đó đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị.
\(y' = 4a{x^3} + 2bx\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0\)
Do \(a > 0;b > 0\) nên phương trình \(y'=0\) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Do đó đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. \(y = {x^3} - 3x\)
B. \(y = {x^3} - 3x^2\)
C. \(y = {x^4} - 2{x^2}\)
D. \(y = 3{x^3}\)
Ta kiểm tra lần lượt các phương án:
+ Với phương án C, hàm số bậc bốn trùng phương luôn có tối thiểu một điểm cực trị.
+ Với phương án A, C, D hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Kiểm tra ta thấy hàm số \(y = 3{x^3}\) có \(y' = 9{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số không có cực trị.
Vậy D là phương án cần tìm.
+ Với phương án C, hàm số bậc bốn trùng phương luôn có tối thiểu một điểm cực trị.
+ Với phương án A, C, D hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Kiểm tra ta thấy hàm số \(y = 3{x^3}\) có \(y' = 9{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số không có cực trị.
Vậy D là phương án cần tìm.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m{x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x - 3 đạt cực tiểu tại x=1.
A. \(m = 0\)
B. \(m = -1\)
C. \(m = -2\)
D. \(m = \frac{3}{2}\)
\(y = m{x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x - 3\)
\(\begin{array}{l} y' = 3m{x^2} - 2({m^2} + 1)x + 2\\ y'' = 6mx - 2({m^2} + 1) \end{array}\)
\(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m - 2({m^2} + 1) + 2 = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = \frac{3}{2} \end{array} \right.\)
Với m=0:
\(y''(1) = - 2 < 0\)
Vậy m=0 không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m = \frac{3}{2}\):
\(y''(1) = \frac{5}{2} > 0\).
Thử lại ta thấy với \(m = \frac{3}{2}\) hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
\(\begin{array}{l} y' = 3m{x^2} - 2({m^2} + 1)x + 2\\ y'' = 6mx - 2({m^2} + 1) \end{array}\)
\(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m - 2({m^2} + 1) + 2 = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = \frac{3}{2} \end{array} \right.\)
Với m=0:
\(y''(1) = - 2 < 0\)
Vậy m=0 không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m = \frac{3}{2}\):
\(y''(1) = \frac{5}{2} > 0\).
Thử lại ta thấy với \(m = \frac{3}{2}\) hàm số đạt cực tiểu tại x=1.