Câu 1
Cho hàm số \(y = \left| x \right|\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nên không đạt cực tiểu tại x=0.
B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x=0.
C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0.
D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0.
Câu 2
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\).
A. yCĐ=2
B. yCĐ=1
C. yCĐ=-1
D. yCĐ=0
Câu 3
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. \(\forall m < 1\) thì hàm số có hai cực trị
B. Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu.
C. \(\forall m \ne 1\) thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
D. \(\forall m > 1\) thì hàm số có cực trị.
Câu 4
Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 13x + 6\) có mấy điểm cực trị?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 5
Với giá trị nào của thì đường thẳng \(y = x + m\) đi qua trung điểm của đoạn nối 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 6
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} + 6\).
A. yCĐ=2
B. yCĐ=6
C. yCĐ \(\in \left\{ {2;6} \right\}\)
D. yCĐ=0
Câu 7
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right){\left( {2x - 1} \right)^3}\). Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1.
Câu 8
Cho hàm số \(y= {x^3} + 3{x^2} + mx + m - 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A. \(m \le 0\)
B. \(m < 3\)
C. \(m \ge 0\)
D. \(m < 0\)
Câu 9
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 2\) đạt cực đại tại x=2
A. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\)
B. \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\)
C. \(m \in \left\{ {0;3} \right\}\)
D. \(m \in \left\{ {5;2} \right\}\)
Câu 10:
Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 5{x^2} + 7x - 3\).
A. \(\left( {\frac{7}{3};\frac{{32}}{{27}}} \right)\)
B. \(\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 32}}{{27}}} \right)\)
C. \(\left( {1;0} \right)\)
D. \(\left( {0; - 3} \right)\)
Cho hàm số \(y = \left| x \right|\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nên không đạt cực tiểu tại x=0.
B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x=0.
C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0.
D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0.
Ta có: \(y = \left| x \right| = \sqrt {{x^2}}\)
Ta có: \(y' = \sqrt {{x^2}} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}\) => Hàm số không có đạo hàm tại x=0.
Hàm số này không có đạo hàm tại x=0.
Tuy nhiên ta thấy hàm số vẫn đạt cực tiểu tại x=0.
Nên đáp án B đúng.
Ta có: \(y' = \sqrt {{x^2}} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}\) => Hàm số không có đạo hàm tại x=0.
Hàm số này không có đạo hàm tại x=0.
Tuy nhiên ta thấy hàm số vẫn đạt cực tiểu tại x=0.
Nên đáp án B đúng.
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\).
A. yCĐ=2
B. yCĐ=1
C. yCĐ=-1
D. yCĐ=0
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại yCĐ=2.
Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại yCĐ=2.
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. \(\forall m < 1\) thì hàm số có hai cực trị
B. Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu.
C. \(\forall m \ne 1\) thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
D. \(\forall m > 1\) thì hàm số có cực trị.
Vì đây là bài toán xét tính đúng sai của mệnh đề nên ta cần đi xem xét từng mệnh đề một. Vì đây là bài toán về cực trị nên trước tiên ta đi tìm đạo hàm của hàm số sau đó xét phương trình y'=0 để tìm kết luận cho bài toán.
\(y' = {x^2} + 2mx + 2m - 1\).
Xét phương trình y'=0, ta cùng nhớ lại bảng các dạng đồ thị của hàm số bậc ba ở trang 35 sách giáo khoa cơ bản. Nhận thấy ở tất cả các mệnh đề đều nói là hàm số có cực trị, nghĩa là trước tiên ta cần đi tìm điều kiện để hàm số có cực trị là điều kiện chung. Để đồ thị hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình y'=0 phải có hai nghiệm phân biệt. Khi đó: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\). Từ đây ta thấy mệnh đề C đúng, cả A và D cũng đúng. Vậy mệnh đề sai là B.
\(y' = {x^2} + 2mx + 2m - 1\).
Xét phương trình y'=0, ta cùng nhớ lại bảng các dạng đồ thị của hàm số bậc ba ở trang 35 sách giáo khoa cơ bản. Nhận thấy ở tất cả các mệnh đề đều nói là hàm số có cực trị, nghĩa là trước tiên ta cần đi tìm điều kiện để hàm số có cực trị là điều kiện chung. Để đồ thị hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình y'=0 phải có hai nghiệm phân biệt. Khi đó: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\). Từ đây ta thấy mệnh đề C đúng, cả A và D cũng đúng. Vậy mệnh đề sai là B.
Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 13x + 6\) có mấy điểm cực trị?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Đây là hàm số bậc ba, vậy để tìm được số điểm cực trị của đồ thị hàm số ta chỉ cần xét số nghiệm của phương trình \(y' = 0\)
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x - 13 = 0\,\left( {VN} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số không có điểm cực trị.
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x - 13 = 0\,\left( {VN} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số không có điểm cực trị.
Với giá trị nào của thì đường thẳng \(y = x + m\) đi qua trung điểm của đoạn nối 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Yêu cầu của bài toán là tìm m để đường thẳng \(y = x + m\) đi qua trung điểm 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\), thì ta đi tìm 2 điểm cực trị rồi từ đó suy ra tọa độ trung điểm, thay vào phương trình của đường thẳng đã cho rồi ta tìm được m.
\(y' = 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow\)hoành độ trung điểm của 2 điểm cực trị là x0=2
\(\Rightarrow M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.
Thay vào phương trình đường thẳng ta được \(2 = 2 + m \Leftrightarrow m = 0\).
\(y' = 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow\)hoành độ trung điểm của 2 điểm cực trị là x0=2
\(\Rightarrow M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.
Thay vào phương trình đường thẳng ta được \(2 = 2 + m \Leftrightarrow m = 0\).
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} + 6\).
A. yCĐ=2
B. yCĐ=6
C. yCĐ \(\in \left\{ {2;6} \right\}\)
D. yCĐ=0
Hàm số xác định với mọi \(x\in R\). Ta có:
\(y' = {x^3} - 4x = x\left( {{x^2} - 4} \right)\)
\(y'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0;{x_2} = 2;{x_3} = - 2\)
\(y'' = 3{x^2} - 4\)
\(y''\left( { \pm 2} \right) = 8 > 0\) nên x=-2 và x=2 là hai điểm cực tiểu.
\(y''\left( 0 \right) = - 4 < 0\) nên x=0 là điểm cực đại.
Kết luận: hàm số đạt cực đại tại xCĐ=0 và yCĐ=6. Vậy đáp án đúng là đáp án B.
\(y' = {x^3} - 4x = x\left( {{x^2} - 4} \right)\)
\(y'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0;{x_2} = 2;{x_3} = - 2\)
\(y'' = 3{x^2} - 4\)
\(y''\left( { \pm 2} \right) = 8 > 0\) nên x=-2 và x=2 là hai điểm cực tiểu.
\(y''\left( 0 \right) = - 4 < 0\) nên x=0 là điểm cực đại.
Kết luận: hàm số đạt cực đại tại xCĐ=0 và yCĐ=6. Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right){\left( {2x - 1} \right)^3}\). Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1.
Cho hàm số \(y= {x^3} + 3{x^2} + mx + m - 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A. \(m \le 0\)
B. \(m < 3\)
C. \(m \ge 0\)
D. \(m < 0\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x + m\).
Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phiá trục tung thì phương trình y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
Điều này xảy ra khi: \({x_1}.{x_2} < 0 \Rightarrow \frac{m}{3} < 0 \Leftrightarrow m < 0\).
Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phiá trục tung thì phương trình y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
Điều này xảy ra khi: \({x_1}.{x_2} < 0 \Rightarrow \frac{m}{3} < 0 \Leftrightarrow m < 0\).
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 2\) đạt cực đại tại x=2
A. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\)
B. \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\)
C. \(m \in \left\{ {0;3} \right\}\)
D. \(m \in \left\{ {5;2} \right\}\)
TXĐ: D =R
\(y' = - 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x - \left( {{m^2} + 2m} \right);y'' = - 6x + 2\left( {m + 3} \right)\)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'\left( 2 \right) = 0\\ y''\left( 2 \right) < 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 12 + 4\left( {m + 3} \right) - {m^2} - 2m = 0\\ - 12 + 2m + 6 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 2m = 0\\ m < 3 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\).
Thử lại:
m=0 ta có:
m=2 thỏa yêu cầu bài toán.
Kết luận : Giá trị m cần tìm là m=2
Chọn đáp án A.
\(y' = - 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x - \left( {{m^2} + 2m} \right);y'' = - 6x + 2\left( {m + 3} \right)\)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'\left( 2 \right) = 0\\ y''\left( 2 \right) < 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 12 + 4\left( {m + 3} \right) - {m^2} - 2m = 0\\ - 12 + 2m + 6 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 2m = 0\\ m < 3 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\).
Thử lại:
m=0 ta có:
m=2 thỏa yêu cầu bài toán.
Kết luận : Giá trị m cần tìm là m=2
Chọn đáp án A.
Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 5{x^2} + 7x - 3\).
A. \(\left( {\frac{7}{3};\frac{{32}}{{27}}} \right)\)
B. \(\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 32}}{{27}}} \right)\)
C. \(\left( {1;0} \right)\)
D. \(\left( {0; - 3} \right)\)
Ta có \(y' = 3{x^2} - 10x + 7\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{7}{3} \Rightarrow y = - \frac{{32}}{{27}}\\ x = 1 \Rightarrow y = 0 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{7}{3}\), giá trị cực đại \(y = \frac{{ - 32}}{{27}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{7}{3} \Rightarrow y = - \frac{{32}}{{27}}\\ x = 1 \Rightarrow y = 0 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{7}{3}\), giá trị cực đại \(y = \frac{{ - 32}}{{27}}\).