Câu 1
Hàm số \(y = \sin x\) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. \(x = - \frac{\pi }{2}\)
B. \(x = \pi \)
C. \(x = 0\)
D. \(x = \frac{\pi }{2}\)
Câu 2
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm cấp hai trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của các hàm số \(y = f\left( x \right),y = f'\left( x \right),y = f\left( x \right)\) lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ bên.
A. \(\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)\)
B. \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\)
C. \(\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_1}} \right)\)
D. \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right)\)
Câu 3
Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. \(x = - 2\)
B. \(x = 1\)
C. \(x = 0\)
D. \(x = 2\)
Câu 4
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x}\) có giá trị cực đại \({y_1}\)và giá trị cực tiểu \({y_2}\). Tính \(S = {y_2} - {y_1}.\)
A. \(S = - 1\)
B. \(S = - 5\)
C. \(S = 4\)
D. \(S = - 4\)
Câu 5
Hàm số \(y = \frac{{{e^x}}}{{x + 1}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Câu 6
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa điểm \({x_0}\) (có thể hàm số \(f\left( x \right)\) không có đạo hàm tại điểm \({x_0}\)). Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
A. Nếu f(x) không có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì \(f\left( x \right)\) không đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\)
B. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\)
C. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''(x_0)=0\) thì \(f\left( x \right)\) không đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\)
D. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''(x_0)=0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\)
Câu 7
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}\) biết rằng hàm số \(F\left( x \right)\) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành.
A. \(F\left( x \right) = {e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} - {e^2}.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}}.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x}} - {e^2}}}{3}.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x}} - 1}}{3}.\)
Câu 8
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị \(f'\left( x \right)\) của nó trên khoảng K như hình vẽ bên. Khi đó, trên K, hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
Câu 9
Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?
A. \(y = {x^4} - {x^2} + 3\)
B. \(y = - {x^4} - {x^2} + 3\)
C. \(y = - {x^4} + {x^2} + 3\)
D. \(y = {x^4} + {x^2} + 3\)
Câu 10:
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1 - m\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm.
A. \(m = 1\)
B. \(m = 2\)
C. \(m = 0\)
D. \(m = - 1\)
Hàm số \(y = \sin x\) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. \(x = - \frac{\pi }{2}\)
B. \(x = \pi \)
C. \(x = 0\)
D. \(x = \frac{\pi }{2}\)
\(y = \sin x \Rightarrow y' = \cos x;\,y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)
Khi \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2};k = - 1 \Rightarrow x = - \frac{\pi }{2}\) nên loại B và C
Ta có: \(y'' = - \sin x\)
Ta có: \(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1 < 0;\,\,y''\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 1 > 0\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{\pi }{2}.\)
Khi \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2};k = - 1 \Rightarrow x = - \frac{\pi }{2}\) nên loại B và C
Ta có: \(y'' = - \sin x\)
Ta có: \(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1 < 0;\,\,y''\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 1 > 0\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{\pi }{2}.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm cấp hai trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của các hàm số \(y = f\left( x \right),y = f'\left( x \right),y = f\left( x \right)\) lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ bên.
A. \(\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)\)
B. \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\)
C. \(\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_1}} \right)\)
D. \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right)\)
Ta thấy tại các điểm mà \(\left( {{C_3}} \right)\) đạt cực trị thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu.
Tại các điểm mà \(\left( {{C_1}} \right)\) đạt cực trị thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu.
Suy ra: \(\left( {{C_3}} \right)\) là đồ thị của f(x); \(\left( {{C_1}} \right)\) là đồ thị của f’(x); \(\left( {{C_2}} \right)\) là đồ thị của \(f''\left( x \right).\)
Tại các điểm mà \(\left( {{C_1}} \right)\) đạt cực trị thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu.
Suy ra: \(\left( {{C_3}} \right)\) là đồ thị của f(x); \(\left( {{C_1}} \right)\) là đồ thị của f’(x); \(\left( {{C_2}} \right)\) là đồ thị của \(f''\left( x \right).\)
Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. \(x = - 2\)
B. \(x = 1\)
C. \(x = 0\)
D. \(x = 2\)
Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=0.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x}\) có giá trị cực đại \({y_1}\)và giá trị cực tiểu \({y_2}\). Tính \(S = {y_2} - {y_1}.\)
A. \(S = - 1\)
B. \(S = - 5\)
C. \(S = 4\)
D. \(S = - 4\)
Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x} = x - 3 + \frac{1}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Mặt khác \(y = \frac{2}{{{x^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y\left( { - 1} \right) = - 2 < 0}\\
{y\left( 1 \right) = 2 > 0}
\end{array}} \right.\)
Vậy hàm só đạt cực đại tại \(x = - 1;\) đạt cực tiểu tại x=2.
Do đó: \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1} = y\left( { - 1} \right) = - 5}\\{{y_2} = y\left( 1 \right) = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_2} - {y_1} = 4.\)
Mặt khác \(y = \frac{2}{{{x^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y\left( { - 1} \right) = - 2 < 0}\\
{y\left( 1 \right) = 2 > 0}
\end{array}} \right.\)
Vậy hàm só đạt cực đại tại \(x = - 1;\) đạt cực tiểu tại x=2.
Do đó: \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1} = y\left( { - 1} \right) = - 5}\\{{y_2} = y\left( 1 \right) = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_2} - {y_1} = 4.\)
Hàm số \(y = \frac{{{e^x}}}{{x + 1}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{{{e^x}}}{{x + 1}}} \right)^,} = \frac{{x.{e^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{x.{e^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy hàm số số đạt cực đại tại x=0.
\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{x.{e^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy hàm số số đạt cực đại tại x=0.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa điểm \({x_0}\) (có thể hàm số \(f\left( x \right)\) không có đạo hàm tại điểm \({x_0}\)). Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
A. Nếu f(x) không có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì \(f\left( x \right)\) không đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\)
B. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\)
C. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''(x_0)=0\) thì \(f\left( x \right)\) không đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\)
D. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''(x_0)=0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\)
A sai: Hàm số vẫn có thể đạt cực trị tại điểm mà đạo hàm không xác định.
B sai: Ta có thể lấy phản ví dụ với hàm số \(y = {x^3}.\)
C sai: ta có thể lấy phản ví dụ với hàm số \(y = {x^4}.\)
D là một khẳng định đúng:
Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}.\)
Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \({x_0}.\)
B sai: Ta có thể lấy phản ví dụ với hàm số \(y = {x^3}.\)
C sai: ta có thể lấy phản ví dụ với hàm số \(y = {x^4}.\)
D là một khẳng định đúng:
Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}.\)
Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \({x_0}.\)
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}\) biết rằng hàm số \(F\left( x \right)\) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành.
A. \(F\left( x \right) = {e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} - {e^2}.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}}.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x}} - {e^2}}}{3}.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x}} - 1}}{3}.\)
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}d{\rm{x}}} \)
Đặt \(u = {x^3} - 3x \Rightarrow du = 3\left( {{x^2} - 1} \right)dx\)
Vậy: \(F(x) = \frac{1}{3}\int {{e^u}du} = \frac{1}{3}{e^u} + C = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} + C\)
Ta có: \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)
Mặt khác \(F''\left( x \right) = f'\left( x \right) = 2{\rm{x}}{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} + 3\left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F''\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}} > 0\\
F''\left( { - 1} \right) = - 2{{\rm{e}}^2} < 0
\end{array} \right..\)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Từ đề bài suy ra:\(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}} + 2}} - 1}}{{3{{\rm{e}}^2}}}.\)
Đặt \(u = {x^3} - 3x \Rightarrow du = 3\left( {{x^2} - 1} \right)dx\)
Vậy: \(F(x) = \frac{1}{3}\int {{e^u}du} = \frac{1}{3}{e^u} + C = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} + C\)
Ta có: \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)
Mặt khác \(F''\left( x \right) = f'\left( x \right) = 2{\rm{x}}{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} + 3\left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F''\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}} > 0\\
F''\left( { - 1} \right) = - 2{{\rm{e}}^2} < 0
\end{array} \right..\)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Từ đề bài suy ra:\(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}} + 2}} - 1}}{{3{{\rm{e}}^2}}}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị \(f'\left( x \right)\) của nó trên khoảng K như hình vẽ bên. Khi đó, trên K, hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
Dựa vào đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right) = 0\) và đổi dấu từ âm sang dương tại 1 điểm, do đó trên khoảng K, hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực tiểu.
Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?
A. \(y = {x^4} - {x^2} + 3\)
B. \(y = - {x^4} - {x^2} + 3\)
C. \(y = - {x^4} + {x^2} + 3\)
D. \(y = {x^4} + {x^2} + 3\)
Hàm số bậc bốn trùng phương có 2 cực đại và cực tiểu suy ra hệ số của \({x^4}\) âm và phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Kiểm tra 4 phương án ta thấy C thỏa yêu cầu đề bài.
Kiểm tra 4 phương án ta thấy C thỏa yêu cầu đề bài.
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1 - m\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm.
A. \(m = 1\)
B. \(m = 2\)
C. \(m = 0\)
D. \(m = - 1\)
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{{x^2} = m}\end{array}} \right.\).
Hàm số có 3 điểm cực trị khi \(m > 0\)
Khi đó gọi \(A\left( {0;1; - m} \right);B\left( {\sqrt m ;1 - 2m} \right);C\left( { - \sqrt m ;1 - 2m} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
O là trục tâm giác giá ABC nên \(OB \bot AC\)
Suy ra: \(\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt m ;1 - 2m} \right).\left( { - \sqrt m ; - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m + \left( {1 - 2m} \right)m = 0 \Rightarrow m = 1.\)
Hàm số có 3 điểm cực trị khi \(m > 0\)
Khi đó gọi \(A\left( {0;1; - m} \right);B\left( {\sqrt m ;1 - 2m} \right);C\left( { - \sqrt m ;1 - 2m} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
O là trục tâm giác giá ABC nên \(OB \bot AC\)
Suy ra: \(\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt m ;1 - 2m} \right).\left( { - \sqrt m ; - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m + \left( {1 - 2m} \right)m = 0 \Rightarrow m = 1.\)