Câu 1
Tìm m để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m{{\rm{x}}^2} + \left( {{m^2} - 1} \right){\rm{x}} + 1\) đạt cực đại tại x=1.
A. 1
B. 0
C. 2
D. -2
Câu 2
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có một điểm cực đại.
B. Hàm số có một điểm cực tiểu.
C. Hàm số có một điểm cực đại và một cực tiểu.
D. Không có cực trị.
Câu 3
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác thực, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[{ - 2;3} \right].\)
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Câu 4
Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \left( {3{a^2} - 1} \right){x^3} - \left( {{b^3} + 1} \right){x^2} + 3{c^2}x + 4d\) có hai điểm cực trị là \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2; - 8} \right).\)Hãy xác định tổng \(M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}.\)
A. 18
B. 15
C. -18
D. 8
Câu 5
Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}}}}{{x + 1}}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1}{x_2}.\)
A. \(P = - 1.\)
B. \(P = - 2.\)
C. \(P = - 4.\)
D. \(P = - 5.\)
Câu 6
Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4\left( {m - 1} \right){{\rm{x}}^2} + 2m - 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng \({120^o}.\)
A. \(m = 1 + \sqrt[3]{{16}}\)
B. \(m = 1 + \sqrt[3]{{2}}\)
C. \(m = 1 + \sqrt[3]{{48}}\)
D. \(m = 1 + \sqrt[3]{{24}}\)
Câu 7
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại là \(x = - 1;x = 2\)
B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là \(x = 0,x = 3\)
C. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), cực đại tại \(x = 2\)
D. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), cực đại tại \(x = - 1\)
Câu 8
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
B. Giá trị lớn nhất của hàm số là 3
C. Hàm số có một điểm cực trị
D. Hàm số có hai điểm cực trị
Câu 9
Đồ thị hàm số nào có đúng một điểm cực trị?
A. \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
B. \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\).
C. \(y = {x^3} - 4x + 2\).
D. \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\).
Câu 10:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\), có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào sao đây sai.
A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một điểm cực trị.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Tìm m để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m{{\rm{x}}^2} + \left( {{m^2} - 1} \right){\rm{x}} + 1\) đạt cực đại tại x=1.
A. 1
B. 0
C. 2
D. -2
\(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m{{\rm{x}}^2} + \left( {{m^2} - 1} \right){\rm{x}} + 1\)
\(y' = {x^2} - 2mx + ({m^2} - 1)\)
\(y'' = 2x - 2m\)
Để hàm số đạt cực trị tại x=1 thì:
\(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2m + ({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 0 \end{array} \right.\)
Với m=0 ta có: \(y''(1) = 2 > 0\)
Với m=2 ta có: \(y''(1) = - 2 < 0\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
\(y' = {x^2} - 2mx + ({m^2} - 1)\)
\(y'' = 2x - 2m\)
Để hàm số đạt cực trị tại x=1 thì:
\(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2m + ({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 0 \end{array} \right.\)
Với m=0 ta có: \(y''(1) = 2 > 0\)
Với m=2 ta có: \(y''(1) = - 2 < 0\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có một điểm cực đại.
B. Hàm số có một điểm cực tiểu.
C. Hàm số có một điểm cực đại và một cực tiểu.
D. Không có cực trị.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đạo hàm: \(y' = - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với \(\forall x \in D\) ⇒ Hàm số không có cực trị.
Đạo hàm: \(y' = - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với \(\forall x \in D\) ⇒ Hàm số không có cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác thực, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[{ - 2;3} \right].\)
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy có hai điểm cực đại thuộc đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\)
Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \left( {3{a^2} - 1} \right){x^3} - \left( {{b^3} + 1} \right){x^2} + 3{c^2}x + 4d\) có hai điểm cực trị là \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2; - 8} \right).\)Hãy xác định tổng \(M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}.\)
A. 18
B. 15
C. -18
D. 8
Ta có \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2;8} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {3{a^2} - 1} \right) - \left( {{b^3} + 1} \right) + 3{c^2} + 4d = - 7}\\{8\left( {3{a^2} - 1} \right) - 4\left( {{b^3} + 1} \right) + 6{c^2} + 4d = - 7}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{a^2} - {b^3} + 3{c^2} + 4d = - 5\left( * \right)}\\{24{a^2} - 4{b^3} + 6{c^2} + 4d = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow 21{a^2} - 3{b^3} + 3{c^2} = 9\left( 1 \right)\)
\(y' = \left( {9{a^2} - 3} \right){x^2} - \left( {2{b^3} + 2} \right)x + 3{c^2}\)
Các điểm \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2; - 8} \right)\) là cực trị của đồ thị hàm số nên \(y'\left( 1 \right) = y'\left( 2 \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{a^2} - 2{b^3} + 3{c^2} = 5\left( 2 \right)}\\{36{a^2} - 4{b^3} + 3{c^2} = 16\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{21{a^2} - 3{b^3} + 3{c^2} = 9}\\{9{a^2} - 2{b^3} + 3{c^2} = 5}\\{36{a^2} - 4{b^3} + 3{c^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 1}\\{{b^3} = 8}\\{{c^2} = 4}\end{array}} \right.\)
Thế vào (*) ta được \(d = - 3\) \( \Rightarrow M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 1 + {2^2} + 4 + {\left( { - 3} \right)^2} = 18.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{a^2} - {b^3} + 3{c^2} + 4d = - 5\left( * \right)}\\{24{a^2} - 4{b^3} + 6{c^2} + 4d = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow 21{a^2} - 3{b^3} + 3{c^2} = 9\left( 1 \right)\)
\(y' = \left( {9{a^2} - 3} \right){x^2} - \left( {2{b^3} + 2} \right)x + 3{c^2}\)
Các điểm \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2; - 8} \right)\) là cực trị của đồ thị hàm số nên \(y'\left( 1 \right) = y'\left( 2 \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{a^2} - 2{b^3} + 3{c^2} = 5\left( 2 \right)}\\{36{a^2} - 4{b^3} + 3{c^2} = 16\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{21{a^2} - 3{b^3} + 3{c^2} = 9}\\{9{a^2} - 2{b^3} + 3{c^2} = 5}\\{36{a^2} - 4{b^3} + 3{c^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 1}\\{{b^3} = 8}\\{{c^2} = 4}\end{array}} \right.\)
Thế vào (*) ta được \(d = - 3\) \( \Rightarrow M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 1 + {2^2} + 4 + {\left( { - 3} \right)^2} = 18.\)
Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}}}}{{x + 1}}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1}{x_2}.\)
A. \(P = - 1.\)
B. \(P = - 2.\)
C. \(P = - 4.\)
D. \(P = - 5.\)
\(\begin{array}{l}y = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} - 5 + 5}}{{x + 1}} = \frac{{(x + 1)(x - 5) + 5}}{{x + 1}} = x - 5 + \frac{5}{{x + 1}}\\ \Rightarrow y' = 1 - \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\{x^2} + 2{\rm{x}} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = {x_1}{x_2} = - 4.\end{array}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4\left( {m - 1} \right){{\rm{x}}^2} + 2m - 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng \({120^o}.\)
A. \(m = 1 + \sqrt[3]{{16}}\)
B. \(m = 1 + \sqrt[3]{{2}}\)
C. \(m = 1 + \sqrt[3]{{48}}\)
D. \(m = 1 + \sqrt[3]{{24}}\)
Xét hàm số \(y = {x^4} - 4\left( {m - 1} \right){x^2} + 2m - 1\), ta có: \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 8\left( {m - 1} \right)x = 4x\left[ {{x^2} - 2(m - 1)} \right].\)
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt hay m>1.
Khi đó tọa độ độ các điểm cực trị là:
\(A(0;2m - 1);\,B(\sqrt {2(m - 1)} ; - 4{(m - 1)^2} + 2m - 1);C( - \sqrt {2(m - 1)} ; - 4{(m - 1)^2} + 2m - 1)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {2(m - 1)} ; - 4{{(m - 1)}^2}} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - \sqrt {2(m - 1)} ; - 4{{(m - 1)}^2}} \right)\end{array}\)
Tam giác ABC cân tại A có một góc bằng \({120^0}\) suy ra: \(\widehat {BAC} = {120^2} = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{ - 2(m - 1) + 16{{(1 - m)}^4}}}{{2(m - 1) + 16{{(1 - m)}^4}}} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^3} = \frac{1}{{24}}
\Leftrightarrow \(m = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{24}}\)
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt hay m>1.
Khi đó tọa độ độ các điểm cực trị là:
\(A(0;2m - 1);\,B(\sqrt {2(m - 1)} ; - 4{(m - 1)^2} + 2m - 1);C( - \sqrt {2(m - 1)} ; - 4{(m - 1)^2} + 2m - 1)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {2(m - 1)} ; - 4{{(m - 1)}^2}} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - \sqrt {2(m - 1)} ; - 4{{(m - 1)}^2}} \right)\end{array}\)
Tam giác ABC cân tại A có một góc bằng \({120^0}\) suy ra: \(\widehat {BAC} = {120^2} = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{ - 2(m - 1) + 16{{(1 - m)}^4}}}{{2(m - 1) + 16{{(1 - m)}^4}}} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^3} = \frac{1}{{24}}
\Leftrightarrow \(m = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{24}}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại là \(x = - 1;x = 2\)
B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là \(x = 0,x = 3\)
C. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), cực đại tại \(x = 2\)
D. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), cực đại tại \(x = - 1\)
Từ đồ thị hàm số ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), cực tiểu tại \(x = 2.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
B. Giá trị lớn nhất của hàm số là 3
C. Hàm số có một điểm cực trị
D. Hàm số có hai điểm cực trị
Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\), còn tại điểm \(x = 0\) không phải cực trị của đồ thị hàm số (hàm số không xác định tại x=0). Do đó hàm số có một điểm cực trị.
Đồ thị hàm số nào có đúng một điểm cực trị?
A. \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
B. \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\).
C. \(y = {x^3} - 4x + 2\).
D. \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\).
Ta có \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\). \(y' = 4{x^3} + 4x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).
Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị.
A sai vì có 3 cực trị .
B sai vì không có cực trị.
C sai vì có hai cực trị.
Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị.
A sai vì có 3 cực trị .
B sai vì không có cực trị.
C sai vì có hai cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\), có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào sao đây sai.
A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một điểm cực trị.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số chỉ đạt cực trị tại x=-1.