Toán 12 10 Bài tập Cực Trị của Hàm Số trích trong đề thi thử toán tốt nghiệp THPT phần 13

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Câu 1
Tìm số giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} + \left( {3m - 10} \right){x^2} + 2\) có ba cực trị.
A. 3.
B. 0.
C. 4.
D. 5.
Xét hàm số: \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} + \left( {3m - 10} \right){x^2} + 2\)
Với m=-1, ta có hàm số \(y = - 13{x^2} + 2\) chỉ có một điểm cực trị. Vậy m=-1 không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m \ne - 1,\) ta có:
\(\begin{array}{l} y' = 4(m + 1){x^3} + 2(3m - 10)x = 2x\left[ {2(m + 1){x^2} + 3m - 10} \right]\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{{3m - 10}}{{2(m + 1)}}\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 hay:
\(\frac{{3m - 10}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{{10}}{3}\)
Vậy m=0; 1; 2; 3 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m + 2\) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
A. \(m \ne 1.\)
B. \(- 2 < m < 2.\)
C. \(m >3.\)
D. \(- 2 \le m \le 2.\)
Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m + 2.\)
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x;\forall x \in \mathbb{R}\)
Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow y\left( 0 \right) = m + 2}\\ {x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = m - 2} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow y\left( 0 \right).y\left( 2 \right) = {m^2} - 4.\)
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục hoành thì: \(y\left( 0 \right).y\left( 2 \right) = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)
Câu 4
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = m{x^4} + \left( {{m^2} - 2} \right){x^2} + 2\) có hai cực tiểu và một cực đại.

A. \(m < - \sqrt 2\) hoặc \(0 < m < \sqrt 2 .\)
B. \(- \sqrt 2 < m < 0.\)
C. \(m < - \sqrt 2\)
D. \(0 < m < \sqrt 2 .\)
Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có hai cực tiểu và một cực đại khi và chỉ khi a<0 và ab<0.
Hay \(\left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ \left( {{m^2} - 2} \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \sqrt 2 .\)
Câu 5
Cho hàm số \(y = - 2{x^3} + \left( {2m - 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} - 1} \right)x + 2\). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
A. 4
B. 5
C. 3
D. 6
Ta có \(y' = - 6x^2 + 2\left( {2m - 1} \right)x - \left( {{m^2} - 1} \right)\).
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = - 2{m^2} - 4m + 6 > 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1\).
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 6
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4\) có đúng hai cực trị.
A. \(m < \frac{4}{3}\)
B. \(m > - \frac{2}{3}\)
C. \(m < - \frac{2}{3}\)
D. \(m > - \frac{4}{3}\)
Ta có \(y' = 3{x^2} + {x^2} - 2m - 1\).
Hàm số có đúng hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = 1 + 3.\left( {2m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{2}{3}\).
Câu 7
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{{2^x}}}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho có cả điểm cực đại và điểm cực tiểu.
B. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu.
C. Hàm số đã cho có điểm cực đại.
D. Hàm số đã cho không có điểm cực trị.
Ta có \(y = \frac{x}{{{2^x}}} = x{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)
\(\Rightarrow y' = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + x{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\left( {1 + x\ln \frac{1}{2}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\left( {1 - x\ln 2} \right)\)
Do đó \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\ln 2}}\).
Mà \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2}.\left( {1 - x\ln 2} \right) + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}.\left( { - \ln 2} \right)\)
\(\Rightarrow y\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right) = 0 + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{{\ln 2}}}}\left( { - \ln 2} \right) < 0 \Rightarrow\) hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{1}{{\ln 2}}.\)
Câu 8
Tìm điều kiện của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + m{x^2} - x\) có 2 điểm cực trị.
A. \(\left| m \right| \ge 2\sqrt 3\)
B. \(\left| m \right| > 2\)
C. \(\left| m \right| > \sqrt 3\)
D. \(\left| m \right| \ge \sqrt 3\)
Ta có \(y' = - 3{x^2} + 2mx - 1\)
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = {m^2} - 3 > 0 \Leftrightarrow \left| m \right| > \sqrt 3 .\)
Câu 9
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right),x \in\mathbb{R} .\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
B. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x=2.
C. Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=-2.
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = \pm 2} \end{array}} \right.\)
\(f\left( x \right) = 4{x^3} - 8x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 2 \right) = 16 > 0}\\ {f\left( { - 2} \right) = - 16 < 0} \end{array}} \right.\)
Do đó hàm số đạt cực đại tại x=-2 và hàm số đạt cực tiểu tại x=2.
Khi đó x=0 thì đạo hàm f’(x) không đổi dấu nên f(x) không đạt cực trị tại x=0.
Câu 10:
Tìm điểm cực tiểu yCT của hàm số y = {x^3} + 3{x^2} - 9x.
A. \({x_{CT}} = 0\)
B. \(x_{CT} = 1\)
C. \(x_{CT} =- 1\)
D. \(x_{CT} =- 3\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 9;y = 6x + 6.\)
Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = - 3} \end{array}} \right.\) và \(y\left( 1 \right) = 12 > 0.\)
Suy ra x=1 là điểm cực tiểu của hàm số.
 

Bài mới