Toán 12 10 Bài tập Cực Trị của Hàm Số trích trong đề thi thử toán tốt nghiệp THPT phần 12

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Câu 1
Tìm tất cả giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - mx - 3\) có hai cực trị.
A. m=0
B. m # 0
C. m<0
D. m>0
Ta có \(y' = 3{x^2} - m\) để hàm số có 2 cực trị thì thì phương trình y’=0 phải có hai nghiệm phân biệt, điều này xảy ra khi m>0.
Câu 2
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 4.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x=1 và đạt cực tiểu tại x=-1.
B. Hàm số nghịch biến trên \((-\infty ;-1)\)
C. Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.
D. Hàm số có giá trị cực đại là 6.
Xét hàm số \(y = {x^3} - 3x + 4\) với \(x\in \mathbb{R},\) ta có \(y' = 3{x^2} - 3,y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)
Mặt khác \(y'' = 6x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y''(1) = 6 > 0\\ y''( - 1) = - 6 < 0 \end{array} \right. \Rightarrow\) hàm số đạt cực đại tại x=-1 và đạt cực tiểu tại x=1
Và giá trị cực đại của hàm số bằng 6 và giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2.
Suy ra hai điểm cực trị nằm về cùng phía so với trục hoành.
Mặt khác: \(y' < 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 1;1) \Rightarrow\) hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Câu 3
Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = x + \sin 2x\) trên \((0;\pi )\).
A. \({y_{CD}} = \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
B. \({y_{CD}} = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
C. \({y_{CD}} = \frac{{2\pi }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
D. \({y_{CD}} = \frac{\pi }{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Ta có:
\(y' = (x + \sin 2x)' = 1 + 2\cos 2x \Rightarrow y' = 0\)
\(\Leftrightarrow 1 + 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}\).
\(\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi (k \in ),x \in (0;\pi ) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{3}\\ x = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\)
Mặt khác \(y'' = - 4\sin 2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'{'_{\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} = - 2\sqrt 3 < 0\\ y'{'_{\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = 2\sqrt 3 > 0 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{\pi }{3}\)
Giá trị cực đại của hàm số bằng \({y{\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} = \frac{\pi }{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 4
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m\) có ba điểm cực trị.
A. m=0.
B. m<0.
C. m>0.
D. Không tồn tại m.
Xét hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m = a{x^4} + b{x^2} + c \Rightarrow a = 1;b = - 2m;c = m\)
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m \end{array} \right..\)
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có ba nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: m>0.
Câu 5
Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?
A. \(y = 2{x^4} + 4{x^2} + 1\)
B. \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\)
C. \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\)
D. \(y = - {x^4} - 2{x^2} - 1\)
Đồ thị của hàm trùng phương \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\,,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 3 điểm cực trị khi \(y' = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt hay \(- \frac{b}{{2a}} > 0\Leftrightarrow ab < 0.\) Vậy C là phương án đúng.
Câu 6
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\left( {2x + 3} \right)\). Tìm số điểm cực trị của f(x).
A. 3
B. 2
C. 0
D. 1
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 2\\ x = - \frac{3}{2} \end{array} \right.\)
Bảng dấu:
Tìm số điểm cực trị của f(x).png

Vậy hàm số đạt cực trị tại \(x=2;x=-\frac{2}{3}.\)
Câu 7
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^4}}}{2} - {x^3} - \frac{1}{5}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x=-3; đạt cực tiểu tại x=1.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x=-3; đạt cực tiểu tại x=1.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x=-3 và x=1; đạt cực đại tại x=0.
D. Hàm số đạt cực đại tại x=-3 và x=1; đạt cực tiểu tại x=0.
\(y' = {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\)
Ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu.png

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=-3, đạt cực tiểu tại x=1.
Câu 8
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{1}{2}{x^2} + 1\) có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm cực đại của (C) và có hệ số góc k. Tìm k để tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của (C) đến d là nhỏ nhất.
A. \(k = \pm \frac{1}{{16}}.\)
B. \(k = \pm \frac{1}{{4}}.\)
C. \(k = \pm \frac{1}{{2}}.\)
D. \(k = \pm1.\)
Xét hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{1}{2}{x^2} + 1 \Rightarrow y' = {x^3} - x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 1\\ x = \pm 1 \Rightarrow y = \frac{3}{4} \end{array} \right.\)
Ta có điểm cực đại là A(0;1) và hai điểm cực tiểu là \(B\left( {1;\frac{3}{4}} \right),C\left( { - 1;\frac{3}{4}} \right).\)
Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại có hệ số góc k là \(\Delta :kx - y + 1 = 0.\)
Tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu là \(S = \frac{{\left| {k + \frac{1}{4}} \right| + \left| { - k + \frac{1}{4}} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\) thay từng đáp án vào. Ta có B là phương án đúng.
Câu 9
Cho hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 1\) có đồ thị là \((C_m).\) Tìm tất cả các giá trị của m để \((C_m)\) có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành bốn đỉnh của một hình thoi.
A. \(m = 1 + \sqrt 2\) hoặc \(m = -1 + \sqrt 2\).
B. Không có tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.
C. \(m = 4 + \sqrt 2\) hoặc \(m = 4 - \sqrt 2\).
D. \(m = 2 + \sqrt 2\) hoặc \(m = 2 - \sqrt 2.\).
Xét hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 2mx = 2x\left( {2{x^2} - m} \right)\)
Khi \(m > 0:y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 2m - 1\\ x = \pm \frac{{\sqrt {2m} }}{2} \Rightarrow y = - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1 \end{array} \right.\)
Ta có ba điểm cực trị là \(A\left( {0;2m - 1} \right),B = \left( {\sqrt {\frac{m}{2}} ; - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right),C = \left( { - \sqrt {\frac{m}{2}} ; - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right)\)
Tam giác ABC cân tại A.
OBAC là hình thoi khi \(H = \left( {0; - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right)\) là trung điểm BC cũng là trung điểm của OA.
Suy ra \(- \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1 = \frac{{2m - 1}}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 - \sqrt 2 \\ m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\) (nhận).
Câu 10:
Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} + 1.\)
A. (0;1)
B. (1;2)
C. (-1;6)
D. (2;3)
Ta có: \(y' = \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} + 1} \right)' = - 6{x^2} + 6x\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)
Mặt khác \(y'' = - 12x + 6 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''{{\left( 0 \right)}} = 6 > 0}\\ {y''{{\left( 1 \right)}} = - 6 < 0} \end{array}} \right. \Rightarrow\) tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là (1;2).
Tham khảo 234 câu hỏi trắc nghiệm về Cực Trị Của Hàm Số
 

Bài mới