Câu 1
Cho hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.\) Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. \(2x + y + 4 = 0.\)
B. \(2x + y - 4 = 0.\)
C. \(2x - y - 4 = 0.\)
D. \(2x -y + 4 = 0.\)
Câu 2
Tìm giá trị cực đại của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}.\)
A. -9
B. -3
C. -1
D. 1
Câu 4
Tính khoảng cách d điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}.\)
A. \(d=2\)
B. \(d = 4\sqrt 2\)
C. \(d = 2\sqrt 5\)
D. \(d = \sqrt 2\)
Câu 5
Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2.\)
A. \(M\left( { - 1;0} \right)\)
B. \(M\left( {1;0} \right);\,\,O\left( {0;0} \right)\)
C. \(M\left( {2;0} \right)\)
D. \(M\left( {1;0} \right)\)
Câu 6
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2} có điểm cực đại x1 điểm cực tiểu x2 sao cho - 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.
A. \(m>0\)
B. \(m<0\)
C. \(m=0\)
D. Không tồn tại m
Câu 7
Hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1\). Tìm các hệ số a, b, c, d.
A. \(a = - 2,b = 3,c = 0,d = 1\).
B. \(a = - 2,b = 3,c = 1,d = 0\).
C. \(a = - 1,b = 1,c = 1,d = 0\).
D. \(a = - 2,b = 3\) và \(c = d = 0\).
Câu 8
Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3.\)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 9
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1\) có ba cực trị.
A. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 \le m < 0\\ m \ge 1 \end{array} \right.\)
B. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\ m > 1 \end{array} \right.\)
C. \(\left[ \begin{array}{l} m < 1\\ 0 < m < 1 \end{array} \right.\)
D. \(\left[ \begin{array}{l} 0 \le m \le 1\\ m \le - 1 \end{array} \right.\)
Câu 10:
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. \(y = {x^3} - 3x + 1.\)
B. \(y = \frac{{2 - x}}{{x + 3}}\)
C. \(y = {x^4} - 4{x^3} + 3x + 1\)
D. \(y = {x^{2n}} + 2017x{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Cho hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.\) Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. \(2x + y + 4 = 0.\)
B. \(2x + y - 4 = 0.\)
C. \(2x - y - 4 = 0.\)
D. \(2x -y + 4 = 0.\)
Ta có \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right.\)
Vậy tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A(0; - 4),\,B( - 2;0).\)
Suy ra trung điểm của hai điểm cực trị là: \(M( - 1; - 2)\) thuộc đường thẳng \(2x + y + 4 = 0.\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right.\)
Vậy tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A(0; - 4),\,B( - 2;0).\)
Suy ra trung điểm của hai điểm cực trị là: \(M( - 1; - 2)\) thuộc đường thẳng \(2x + y + 4 = 0.\)
Tìm giá trị cực đại của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}.\)
A. -9
B. -3
C. -1
D. 1
Tập xác định \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 3 \end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x=-3, giá trị cực đại là \({y_{CD}} = - 9.\)
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 3 \end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x=-3, giá trị cực đại là \({y_{CD}} = - 9.\)
Tính khoảng cách d điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}.\)
A. \(d=2\)
B. \(d = 4\sqrt 2\)
C. \(d = 2\sqrt 5\)
D. \(d = \sqrt 2\)
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Suy ra tọa độ các điểm cực trị của hàm số là (0;0) và (2;4)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: \(d = \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2}} = 2\sqrt 5 .\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Suy ra tọa độ các điểm cực trị của hàm số là (0;0) và (2;4)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: \(d = \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2}} = 2\sqrt 5 .\)
Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2.\)
A. \(M\left( { - 1;0} \right)\)
B. \(M\left( {1;0} \right);\,\,O\left( {0;0} \right)\)
C. \(M\left( {2;0} \right)\)
D. \(M\left( {1;0} \right)\)
\(y' = 3{x^2} - 6x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;2} \right);B\left( {2; - 2} \right).\)
Kiểm tra bốn đáp án ta thấy điểm \(M\left( {1;0} \right)\) cách đều hai điểm A và B.
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;2} \right);B\left( {2; - 2} \right).\)
Kiểm tra bốn đáp án ta thấy điểm \(M\left( {1;0} \right)\) cách đều hai điểm A và B.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2} có điểm cực đại x1 điểm cực tiểu x2 sao cho - 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.
A. \(m>0\)
B. \(m<0\)
C. \(m=0\)
D. Không tồn tại m
Ta có: \(y' = {x^2} + mx\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - m \end{array} \right.\)
Vì phương trình y'=0 luôn có một nghiệm x=0 nên không tồn tại giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - m \end{array} \right.\)
Vì phương trình y'=0 luôn có một nghiệm x=0 nên không tồn tại giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1\). Tìm các hệ số a, b, c, d.
A. \(a = - 2,b = 3,c = 0,d = 1\).
B. \(a = - 2,b = 3,c = 1,d = 0\).
C. \(a = - 1,b = 1,c = 1,d = 0\).
D. \(a = - 2,b = 3\) và \(c = d = 0\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\), \(f''\left( x \right) = 6ax + 2b\).
Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1\) điều kiện là:
\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 0{\rm{ }}\\
f\left( 1 \right) = 1\\
f'\left( 0 \right) = 0\\
{\rm{f}}\left( 1 \right) = 0\\
f''\left( 0 \right) > 0\\
f''\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d = 0\\
a + b + c + d = 1\\
c = 0\\
3a + 2b + c = 0\\
2b > 0\\
6a + 2b < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = 3\\
c = d = 0
\end{array} \right.\)
Thử lại với \(a = - 2,b = 3\) và \(c = d = 0\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1\) điều kiện là:
\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 0{\rm{ }}\\
f\left( 1 \right) = 1\\
f'\left( 0 \right) = 0\\
{\rm{f}}\left( 1 \right) = 0\\
f''\left( 0 \right) > 0\\
f''\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d = 0\\
a + b + c + d = 1\\
c = 0\\
3a + 2b + c = 0\\
2b > 0\\
6a + 2b < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = 3\\
c = d = 0
\end{array} \right.\)
Thử lại với \(a = - 2,b = 3\) và \(c = d = 0\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3.\)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Xét hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\) ta có \(y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow y'' = 12{x^2} - 4,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right. \Rightarrow y''( \pm 1) > 0 \Rightarrow x = 1,x = - 1\) là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(y( \pm 1) = 2.\)
Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right. \Rightarrow y''( \pm 1) > 0 \Rightarrow x = 1,x = - 1\) là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(y( \pm 1) = 2.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1\) có ba cực trị.
A. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 \le m < 0\\ m \ge 1 \end{array} \right.\)
B. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\ m > 1 \end{array} \right.\)
C. \(\left[ \begin{array}{l} m < 1\\ 0 < m < 1 \end{array} \right.\)
D. \(\left[ \begin{array}{l} 0 \le m \le 1\\ m \le - 1 \end{array} \right.\)
Với \(m = 0 \Rightarrow y = 1 - {x^2} \Rightarrow\) hàm số có một điểm cực trị
Với \(m\neq 0\) ta có \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1 \Rightarrow y' = - 4m{x^3} + 2({m^2} - 1)x;\forall x \in \mathbb{R}\)
Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow ({m^2} - 1)x - 2m{x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} = {m^2} - 1(*) \end{array} \right.\)
Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Điều này xảy ra khi: \(\frac{{{m^2} - 1}}{m} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ - 1 < m < 0 \end{array} \right..\)
Với \(m\neq 0\) ta có \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1 \Rightarrow y' = - 4m{x^3} + 2({m^2} - 1)x;\forall x \in \mathbb{R}\)
Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow ({m^2} - 1)x - 2m{x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} = {m^2} - 1(*) \end{array} \right.\)
Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Điều này xảy ra khi: \(\frac{{{m^2} - 1}}{m} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ - 1 < m < 0 \end{array} \right..\)
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. \(y = {x^3} - 3x + 1.\)
B. \(y = \frac{{2 - x}}{{x + 3}}\)
C. \(y = {x^4} - 4{x^3} + 3x + 1\)
D. \(y = {x^{2n}} + 2017x{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Đáp án A: \(y' = 3{x^2} - 3 = 3({x^2} - 1);{\rm{ }}y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Tại \(x=1;x=-1\) thì y’ có đổi dấu cho nên hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có cực trị ⇒ Loại A.
Đáp án C: \(y' = 4{x^3} - 12{x^2} + 3\) phương trình y'=0 luôn có ít nhất một nghiệm làm đổi dấu y' khi qua nghiệm đó cho nên hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} + 3x + 1\) có cực trị ⇒ Loại C.
Đáp án D: \(y' = 2n.{x^{2n - 1}} + 2017\) ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = {x_o} = \sqrt[{2n - 1}]{{\frac{{ - 2017}}{{2n}}}}\) và qua thì y' đổi dấu cho nên hàm số \(y = {x^{2n}} + 2017x{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) có cực trị ⇒ Loại D.
Đáp án B, ta thấy hàm số \(y = \frac{{2 - x}}{{x + 3}}\) là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, không có cực trị.
Tại \(x=1;x=-1\) thì y’ có đổi dấu cho nên hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có cực trị ⇒ Loại A.
Đáp án C: \(y' = 4{x^3} - 12{x^2} + 3\) phương trình y'=0 luôn có ít nhất một nghiệm làm đổi dấu y' khi qua nghiệm đó cho nên hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} + 3x + 1\) có cực trị ⇒ Loại C.
Đáp án D: \(y' = 2n.{x^{2n - 1}} + 2017\) ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = {x_o} = \sqrt[{2n - 1}]{{\frac{{ - 2017}}{{2n}}}}\) và qua thì y' đổi dấu cho nên hàm số \(y = {x^{2n}} + 2017x{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) có cực trị ⇒ Loại D.
Đáp án B, ta thấy hàm số \(y = \frac{{2 - x}}{{x + 3}}\) là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, không có cực trị.
Đính kèm
-
Hàm số không có điểm cực đại.png