Toán 12 10 Bài tập Cực Trị của Hàm Số trích trong đề thi thử toán tốt nghiệp THPT phần 10

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Câu 1
Cho hàm số \(y = {x^4} - \frac{2}{3}{x^3} - {x^2}.\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số có giá trị cực tiểu là \(-\frac{2}{3}\) và giá trị cực đại là \(-\frac{5}{48}\)
B. Hàm số có giá trị cực tiểu là \(-\frac{2}{3}\) và \(-\frac{5}{48}\)
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là 0
D. Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 2{x^2} - 2x = 2x(2{x^2} - x - 1)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu.png

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{1}{2}\) và x = 1 các giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CT}=-\frac{2}{3}\) và \(y_{CT}=-\frac{5}{48}\)
Câu 2
Hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
bảng biến thiên như hình vẽ.png

A. Hàm số đã cho có đúng một cực trị
B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại
C. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị
D. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
Lưu ý: Hàm số \(f(x)\) vẫn có thể có cực trị tại điểm \(x_0\) mà tại đó \(f'(x)\) không xác định.
Câu 3
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + ax + 1\) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 + {x_2} + 2a} \right)\left( {x_2^2 + {x_1} + 2a} \right) = 9.\)
A. a=2
B. a=-4
C. a=-3
D. a=-1
Hàm số đã cho có 2 cực trị khi phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + a = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \({\Delta _{y'}} = 1 - 4a > 0 \Leftrightarrow a < \frac{1}{4}.\)
Khi đó hàm số có 2 cực trị x1, x2 thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 1\\ {x_1}.{x_2} = a \end{array} \right.\)
Do x1, x2 là nghiệm của PT: \({x^2} - x + a = 0\) nên \(x_1^2 = {x_1} - a;x_2^2 = {x_2} - a\)
Khi đó :
\(\begin{array}{l} \left( {{x_1}^2 + {x_2} + 2a} \right)\left( {{x_2}^2 + {x_1} + 2a} \right) = \left( {{x_1} + {x_2} + a} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + a} \right) = {\left( {a + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 4\\ a = 2{\rm{ }} \end{array} \right.\\ \Rightarrow a = 2\,\,\left( {do\,\,a < \frac{1}{4}} \right). \end{array}\)
Câu 4
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = 4{x^3} + m{x^2} - 12x\) đạt cực tiểu tại điểm x=-2
A. m=-9
B. m=2
C. Không tồn tại m
D. m=9
\(y' = 12{x^2} + 2mx - 12\)
\(y'( - 2) = 0 \Leftrightarrow 12{( - 2)^2} + 2m( - 2) - 12 = 0 \Leftrightarrow m = 9\)
\(y'' = 24x + 2m\)
Với m=9 ta có: \(y''( - 2) = - 30 < 0\)
Suy ra hàm số không tồn tại giá tại m để hàm số đạt cực tiểu tại x=-2.
Câu 5
Hàm số nào sau đây có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu?
A. \(y = {x^4} + {x^2} + 1\)
B. \(y = {x^4} - {x^2} + 1\)
C. \(y = - {x^4} + {x^2} + 1\)
D. \(y = - {x^4} - {x^2} + 1\)
Ta thấy hàm số ở phương án A và D có phương trình y'=0 chỉ có một nghiệm, nên loại hai phương án này.
Xét các hàm số ở phương án B và C.
+ Hàm số \(y = - {x^4} + {x^2} + 1\) có hệ số của \(x^4\) âm nên hàm số sẽ có 2 cực đại và một cực tiểu.
+ Hàm số \(y = {x^4} - {x^2} + 1\) có hệ số của \(x^4\) dương nên hàm số sẽ có 2 cực tiểu và một cực đại.
Câu 6
Với giá trị nào của m thì x=1 là điểm cực tiểu của hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} + m + 1} \right)x.
A. \(m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)
B. m= -2
C. m=-1
D. Không có m
\(y' = {x^2} + 2mx + ({m^2} + m + 1)\)
Để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì:
\(y'(1) = 0 \Rightarrow 1 + 2m + ({m^2} + m + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = - 2 \end{array} \right.\)
\(y'' = 2x + 2m\)
Với m=-1 ta có: y'' (1) = 0
Với m=-2 ta có: y'' (2) = 0
Đến đây nhiều bạn sẽ gặp sai lầm khi kết luận không tồn tại giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
(Xem lại Định lí 2 SGK Giải tích 12 trang 16, đó chỉ là định lý một chiều suy ra).
Khi gặp trường hợp này ta cần chuyển sang phương pháp kiểm tra bằng cách xét dấu của như sau:
+ Với m=-1 ta có: \(y' = {x^2} - 2x + 1,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Vậy với m=-1 hàm số không có cực trị.
+ Với m=-2 ta có: \(y' = {x^2} - 4x + 3,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
điểm cực tiểu của hàm số.png

Ta có y’ đổi dấu từ (+) sang (-) tại x=1, vậy hàm số đạt cực đại tại x=1.
Vậy không có giá trị m nào thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 7
Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có 2 điểm cực trị là (-1;18) và (3;-16). Tính \(S = a + b + c + d.\)
A. S=0
B. S=1
C. S=2
D. S=3
Ta có: \(y' = 2a{x^2} + 2bx + c\)
Với \(x=-1\) và \(x=3\) là nghiệm của phương trình y'=0 thì ta có \(3a - 2b + c = 0\) và \(27a + 6b + c = 0.\)
Do 2 điểm cực trị cũng thuộc đồ thị nên:
\(\begin{array}{l} 18 = - a + b - c + d\\ - 16 = 27a + 9b + 3c + d \end{array}\)
Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn trên ta được: \(a = \frac{{17}}{{16}};b = \frac{{ - 51}}{{16}};c = \frac{{ - 153}}{{16}};d = \frac{{203}}{{16}}\)
\(\Rightarrow a + b + c + d = 1.\)
Câu 8
Tìm khoảng cách d giữa các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = 2{x^4} - \sqrt 3 {x^2} + 1.\)
A. \(d = 2\sqrt[4]{3}\)
B. \(d = \sqrt 3\)
C. \(d = 2\sqrt 3\)
D. \(d = \sqrt[4]{3}\)
Xét hàm số \(y = 2{x^4} - \sqrt 3 {x^2} + 1\)
\(y' = 8{x^3} - 2\sqrt 3 x = 2x\left( {4{x^2} - \sqrt 3 } \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \\ x = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \end{array} \right.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}}\) và \(x = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}}\)
Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là \(d = 2.\sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} = \sqrt[4]{3}.\)
Câu 9
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 5} \right){x^2} + mx có cực đại, cực tiểu sao cho \(\left| {{x_{CD}} - {x_{CT}}} \right| = 5.\)
A. \(m=0\)
B. \(m=-6\)
C. \(m \in \left \{ 6;0 \right \}\)
D. \(m \in \left \{ -6;0 \right \}\)
Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 5} \right){x^2} + mx\)
Ta có: \(y' = {x^2} - \left( {m + 5} \right)x + m\)
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 5} \right){x^2} + mx\) có cực đại, cực tiểu sao cho \(\left| {{x_{CD}} - {x_{CT}}} \right| = 5\) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = {{\left( {m + 5} \right)}^2} - 4m > 0}\\ {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} = 25} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 6m + 25 > 0}\\ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} = 25} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 6m + 25 > 0}\\ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} = 25} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 6m + 25 > 0}\\ {{m^2} + 6m + 25 = 25} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0}\\ {m = - 6} \end{array}} \right.\)
Câu 10:
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
A. \(x=\pm 1\)
B. \(x=- 1\)
C. \(x= 1\)
D. \(x=0\)
Xét hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
\(\begin{array}{l} y' = - 4{x^3} + 4x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số.png

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1.
 

Bài mới